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基本不等式 【学习目标】 1. 理解基本不等式的内容及其证明. 2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题. 【要点梳理】 要点一、基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 要点诠释： 可以变形为：，可以变形为：. 要点二、基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 要点诠释： 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作： 如果，,，（当且仅当时取等号“=”）. 要点三、基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 要点诠释： 1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 要点四、用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释： 1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的. 2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解. 当a=b取等号，其含义是； 仅当a=b取等号，其含义是. 综合上述两条，a=b是的充要条件. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值. 4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值. 5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案. 【典型例题】 类型一：对公式及的理解 例1.下列结论正确的是(　　) A．当x0且x≠1时， B．当x0时， C．当x≥2时，的最小值为2 D．当0x≤2时，无最大值 【思路点拨】 利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可。 【答案】　B 【解析】　A中，当x0且x≠1时，lg x的正负不确定， ∴或； C中，当x≥2时，； D中，当0x≤2时，在(0,2]上递增，.故选B. 【总结升华】 在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可. 举一反三： 【变式1】，，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）. （1）的最小值为； （2）的最小值为； （3）的最小值为. 【答案】（1）；（2） （1）∵，，∴（当且仅当时取等号）. （2）∵，，∴（当且仅当时取等号）. （3）∵，∴， （当且仅当即时取等号） ∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即 【变式2】给出下面四个推导过程： ① ∵，∴； ② ∵，∴； ③ ∵，，∴ ； ④ ∵，，∴. 其中正确的推导为（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【答案】D 【解析】