第四章--随机变量的概率分布与数字特征(新)(DOC).doc

PAGE PAGE 20 随机变量的概率分布与数字特征 学习目标 学习目的 通过学习离散型随机变量及其概率分布、连续型随机变量及其概率密度以及随机变量的数字特征的基本概念、几种常见连续型随机变量分布的基本知识，为后续章节的应用奠定基础。 知识要求 1.掌握随机变量及其概率分布和数字特征的基本概念和计算。 2.熟悉几种重要的连续型随机变量的分布，掌握正态分布的应用。 3.了解随机变量及其概率分布和数字特征在医学上的应用。 能力要求 熟练掌握正态分布的有关计算；学会查正态分布表。 随机变量与离散型随机变量的分布 随机变量 随机现象试验的结果及随机事件，有的可直接用数量来表示。例如，掷骰子出现的点数；对一批产品随机抽检时出现的次品数；对一群动物注射某种药物，其血药浓度达到最大值的时间等等。也有一些随机试验的结果，表面上与数值无关，但可以数值化。例如，某药厂生产出的药品的可能结果是“合格品”和“不合格品”，我们可以用1和0分别表示。对于某种新药的疗效的试验观察结果，如果为“治愈”“显效”“好转”“无效”，则可表示为 使它与数值发生联系。 由于随机试验出现的结果是随机的，所以对应的数值也是随机的。这种对应关系实际上定义了一种实值函数，这种实值函数具有如下特点： （1）它随试验的结果不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值。 （2）由于试验出现的结果具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率。 定义4-1 设E是随机试验，其样本空间，若对每一个有一个实数与之对应，就得到了一个定义在上的实值函数，称为随机变量。 随机变量通常用大写字母等表示。 例4-1 在抛掷一枚硬币进行打赌时，若规定出现正面时抛掷者赢1元钱，出现反面时输1元钱，则其样本空间为 ={正面，反面}， 记赢钱数为随机变量X，则X作为样本空间的实值函数定义为 二、离散型随机变量的概率函数 随机变量一般分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。 离散型随机变量 定义 4-2 如果随机变量的取值只能取有限个或可数无穷个值，则称是一个离散型随机变量。 为了完整的表达随机变量，我们不仅需要知道随机变量的取值，更应知道取每个值的概率。 （二）离散型随机变量的概率函数 定义 4-3 如果离散型随机变量的全部取值为，则称相应的取值的概率 式（4-1） 为离散型随机变量的概率分布或分布律，也称概率函数。 常用表格4-1来表示X的概率分布： 表4-1 X的概率分布 X … … … … 由概率的性质知道，概率函数具有下列两个性质： （1） （2） 反之，凡满足上述两个性质的数列，必为某一随机变量的分布律。 例4-2 设有8件药品，其中3件是次品，现从中任意抽取2件，试求（1）抽样药品中次品数X的概率分布；（2）至多抽得一件次品的概率。 解 （1）可知X的取值为0，1，2，相应的概率为 ； ； 。 （2）所求概率为 。 三、随机变量的分布函数 前面用概率分布律描述了离散型随机变量的统计规律性，但对于非离散型随机变量，则不能用此概率分布律来描述。为此，我们将引入另一种能描述所有随机变量的概率分布律，就是随机变量的分布函数。 定义4-4 设是一个随机变量，对任意实数，称函数 式（4-2） 为随机变量的分布函数。 分布函数具有以下基本性质： （1）是一个单调不减函数； （2）；且，； （3）对于任意实数 (＜)有 由分布函数就可得到在任意取值范围内的概率。因此，分布函数能完整的描述随机变量的概率分布。 对离散型随机变量，只要将其概率分布累加起来，就能够求得分布函数 式（4-3） 其中是离散型随机变量X的取值。 例4-3 设随机变量X的分布律为 X 0 1 2 1/3 1/6 1/2 求。 当时，由，得； 当时，； 当时，； 当时，。 所以 知识链接 随机试验的每一个结果都叫基本事件，如果这些基本事件可用一个变量来表示，那么这样的变量就叫随机变量。也就是说，因为这一变量是由随机试验而得出的，所以才给它加上“随机”的头衔。随机变量的含义应从下述三个方面理解： 　　（1）随机变量是将随机试验的结果数量化； 　　（2）随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件； 　　如：“从装有无差别的6个黑球、4个白球的袋中，随机抽取3个球”，这一随机试验中所得的白球个数是一个随机变量。随机变量，表示随机事件：“所得的白球恰为2个”；而表示随机事件：“所得的白球个数不少于2个”。 　　（3）随机变量与以前学过