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3.3.4 简单线性规划问题的实际应用 【学习目标】 1.从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，建立数学模 型. 2.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单 的实际问题. 线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题：一是 在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完 成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能 以最少的人力、财力、物力、资金等资源来完成该项任务. 线性规划解应用题的一般步骤 x，y，z 约束条件 (1)设出______________； (2)列出__________，确定__________； (3)画出__________； 目标函数 可行域 (4)作目标函数表示的一族平行直线，使其中某条直线与 __________有交点，且使其截距最大或最小； (5)判断__________，求出目标函数的________，并回到原 问题中作答. 可行域 最优解 最值 z＝6x＋4y 练习：有 5 辆 6 吨的汽车，4 辆 4 吨的汽车，要运送最多 的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为____________. 【问题探究】 1.简单线性规划在实际生产生活中主要解决哪些问题？ 答案：简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛， 主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最 多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能 以最少的资源来完成，如常见的任务安排问题、配料问题、下 料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为 数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决. 2.应用线性规划的图解方法，应具备哪些条件？ 答案：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： (1)根据题意，设出变量 x，y； (2)找出线性约束条件； (3)确定线性目标函数 z＝f(x，y)； (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)； (5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x，y)＝t(t 为参数)； (6)观察图形，找到直线 f(x，y)＝t 在可行域上使 t 取得欲求 最值的位置，以确定最优解，给出答案. 题型 1 资源配置问题 【例 1】 某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会 标志——“中国印· 舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福 娃”.该厂所用的主要原料为 A，B 两种贵重金属，已知生产一 套奥运会标志需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒，生 产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元，奥运会吉祥物每套可获利 1200 元，该厂月初一次性购进原料 A，B 的量分别为 200 盒和 300 盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使 该厂月利润最大，最大利润为多少？ 思维突破：将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型. 解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x， y 套，月利润为z 元，由题意，得 作出可行域如图 D19 所示 图D19 目标函数为 z＝700x＋1200y. 将点 A(20,24)代入 z＝700x＋1200y， 得 zmax＝700×20＋1200×24＝42 800(元). 答：当该厂生产奥运会标志和吉祥物分别为 20,24 套时， 月利润最大，最大利润为 42 800 元. 糖果种类 混合 烹调 包装 A 1 5 3 B 2 4 1 【变式与拓展】 1.某糖果厂生产 A，B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润 40 元，B 种糖果每箱获利润 50 元，其生产过程分为混合、烹调、 包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单 位：分钟). 每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用 12 小时，烹 调的设备至多只能用机 30 小时，包装的设备只能用 15 小时， 试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润. 求目标函数z＝40x＋50y的最大值，作出可行域(如图D22)，其边界OA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，BC：5x＋4y－1800＝0， CD：x＋2y－720＝0，DO：x＝0. 图 D22 ∴zmax＝40×120＋50×300＝19 800. 即生产A 种糖果120 箱，生产B 种糖果300 箱，可得最大 利润 19 800 元. 燃料种类 产品 A 产品 B 产品 C 燃料甲/吨 10 7 5 燃料乙/吨 5 9 13 题型 2 降低资源消耗问题 【例 2】 某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品 A，B， C，每消耗一吨燃料与产品 A，B，C 有下列关系： 现知每吨燃料甲与燃料乙