三重积分的概念与计算.pptVIP

作 业 115页 3, 4, 6, 12, 13 三重积分的性质 例2. 例1. 作 业 115页 3, 4, 6, 12, 13 4. 计算 例6. 3. 设?由锥面 计算 圆柱面 半平面 平面 在柱面坐标下 若 从小到大 边界到边界 则有 在投影区域上做极坐标变换 例. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 原式 = 其中 解: 利用对称性 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 球面 半平面 锥面 在球面坐标系中 从小到大，从边界到边界。 体积元素为 化为三次积分， 求 的体积， 解： 球面方程为 在球坐标系下方程为 所以 内容小结 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁, 或 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 * 说明: 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式: 对应雅可比行列式为 变量可分离. 围成 ; x z O y 图 2-3 2 2 2 计算 ，其中 为双曲面 ，锥面 及柱面 围成． 思考与练习 和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标 * 第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三重积分的概念与计算 第九章 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ? 引例: 设在空间有界闭区域 ? 内分布着某种不均匀的 物质, 求分布在 ? 内的物质的 可得 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 定义. 设 存在, 称为体积元素, 若对 ? 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在?上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 下列“乘积和式” 极限 记作 1. 线性性质、单调性、积分估值公式 2. 区域可加性 4. 微元法 5. 对称奇偶性* 6.中值定理. 在有界闭域 ? 上连续, 则存在 使得 V 为? 的体积, 二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 三次积分法 方法1. 投影法 (“先一后二” ) 记作 投影法 三次积分法 设区域 利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得: 适用范围: 由平面围成的情况 其中? 为三个坐标 例.计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 面及平面 .计算 ,其中 由锥面 及平面 围成. 解： 化 为三次积分， 由曲面 及平面 围成. 解：如图 所以 曲面与 xOy 坐标面交于 x 轴和 y 轴 . 方法2. 截面法 (“先二后一”) 特别适用于积分区域中一坐标的范围易获得，截面范围易表示的情况。 其中? 为三个坐标 例3. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 面及平面 为 面上 轴， 解:如图， ： 轴和 围成的等腰直角三角形. 所以 注：此题可用投影法求解． 计算三重积分 其中 是上半椭球体 解： 则 而 原式 例4. 例. 计算三重积分 解: 用“先二后一 ” 补充：三重积分对称性： 补充：三重积分对称性： 2、奇偶对称性： 解 积分域关于三个坐标面都对称， 被积函数是 的奇函数,球面关于xoy面对称 解 1. 将 用三次积分表示, 其中?由 所 提示: 思考与练习 六个平面 围成 , 3. 设 计算 提示: 利用对称性 原式 = 奇函数 to be continue 换元法 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式: 体积元素 一一对应 雅可比行列式 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 圆柱面 平面 半平面 *