偏微分方程的几种数值解法及其应用.pdfVIP

1 常微分方程及其数值解法 1.1 常微分方程概述 在数学上，物质的运动和变化规律是通过函数关系来表示的，在一些复杂的现象中，我们要求的未知 量就变成了满足特定条件的一个或一些未知函数。有的时候，我们需要利用导数或者微分的关系，即这些 未知函数的导数与自变量满足某种关系，这种方程我们称之为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程 称之为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程我们称之为偏微分方程，我们这里只考虑常微分方程。 常微分方程的解，就是找出一个代入方程使之成为恒等式的函数。若微分方程的解中含有任意常数的 个数与方程阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解。当通解中的各任意常数都取 特定值时所得到的解，称为方程的特解。在实际问题中，这些函数往往还需要满足一些特定条件，这称之 为定解条件。 但在实际问题中，很多常微分方程的解析表达式过于复杂，甚至得不到通解的解析表达式。而且，常 微分方程的特解是否存在，存在几个特解，这涉及到微分方程解的存在性和唯一性定理。因此，在实际应 用中，我们通常利用数值的方法来求得方程的数值解，在误差允许的范围内，我们用数值解来替代解析解。 所以，研究常微分的数值解法是很有必要的。 2.2 常微分方程的数值解法 常微分方程的数值解法是有常微分方程的定解条件提出的，首先我们考虑如下一阶常微分方程的初值 问题。 dx t    f (x ,t )  dt （2.1）  x t x    0 0 2.2.1 欧拉法 欧拉法（又称差分法）是常微分方程初值问题数值解法中最简单最古老的方法，它的基本思路是将（2.1） 式中导数项用差分来逼近，从而将一个微分方程转化为一个代数方程，以便迭代求解。根据用于逼近的差 分方式来分，可以分为向前差分、向后差分、中心差分。 1 dx t x t  x t       l l 1 l  dt t dx t x t  x t  l 1   l 1     l （2.2） dt t dx t x t  x t   