MATLAB实现控制系统稳定性分析.doc

PAGE 8 - MATLAB实现控制系统稳定性分析 稳定是控制系统的重要性能,也是系统能够工作的首要条件,因此,如何分析系统的稳定性并找出保证系统稳定的措施,便成为自动控制理论的一个基本任务.线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数,而与输入无关.线性系统稳定的条件是其特征根均具有负实部. 在实际工程系统中,为避开对特征方程的直接求解,就只好讨论特征根的分布,即看其是否全部具有负实部,并以此来判别系统的稳定性,由此形成了一系列稳定性判据,其中最重要的一个判据就是Routh判据.Routh判据给出线性系统稳定的充要条件是:系统特征方程式不缺项,且所有系数均为正,劳斯阵列中第一列所有元素均为正号,构造Routh表比用求根判断稳定性的方法简单许多,而且这些方法都已经过了数学上的证明,是完全有理论根据的,是实用性非常好的方法. 但是,随着计算机功能的进一步完善和Matlab语言的出现,一般在工程实际当中已经不再采用这些方法了.本文就采用Matlab对控制系统进行稳定性分析作一探讨. 1　系统稳定性分析的Matlab实现 1.1　直接判定法 根据稳定的充分必要条件判别线性系统的稳定性,最简单的方法是求出系统所有极点,并观察是否含有实部大于0的极点,如果有,系统则不稳定.然而实际的控制系统大部分都是高阶系统,这样就面临求解高次方程,求根工作量很大,但在Matlab中只需分别调用函数roots(den)或eig(A)即可,这样就可以由得出的极点位置直接判定系统的稳定性. 已知控制系统的传递函数为 （1） 若判定该系统的稳定性,输入如下程序: G=tf([1,7,24,24],[1,10,35,50,24]); roots(G.den{1}) 运行结果: ans = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000 由此可以判定该系统是稳定系统. 1.2　用根轨迹法判断系统的稳定性 根轨迹法是一种求解闭环特征方程根的简便图解法,它是根据系统的开环传递函数极点、零点的分布和一些简单的规则,研究开环系统某一参数从零到无穷大时闭环系统极点在s平面的轨迹.控制工具箱中提供了rlocus函数,来绘制系统的根轨迹,利用rlocfind函数,在图形窗口显示十字光标,可以求得特殊点对应的K值. 已知一控制系统,H(s)=1,其开环传递函数为: (2) 绘制系统的轨迹图. 程序为: G=tf(1,[1 3 2 0]);rlocus(G); [k,p]=rlocfind(G) 根轨迹图如图1所示,光标选定虚轴临界点,程序 结果为: 图1　系统的根轨迹图 selected_point = 0 - 0.0124i k = 0.0248 p = -2.0122 -0.9751 -0.0127 光标选定分离点,程序结果为: selected_point = -1.9905 - 0.0124i k = 0.0308 p = -2.0151 -0.9692 -0.0158 上述数据显示了增益及对应的闭环极点位置.由此可得出如下结论: (1)0k0.4时,闭环系统具有不同的实数极点,表明系统处于过阻尼状态; (2)k=0.4时,对应为分离点,系统处于临界阻尼状态; (3)0.4k6时,系统主导极点为共轭复数极,系统为欠阻尼状态; (4)k=6时,系统有一对虚根,系统处于临界稳定状态; (5)k6时,系统的一对复根的实部为正,系统处于不稳定状态. 1.3　用Nyquist曲线判断系统的稳定性 Matlab提供了函数Nyquist来绘制系统的Nyquist曲线,若式(2)系统分别取k= 4和k= 10(图2为阶跃响应曲线),通过Nyquist曲线判断系统的稳定性,程序如下: num1=[4];num2=[10]; den1=[1,3,2,0]; gs1=tf(num1,den1); gs2=tf(num2,den1); hs=1; gsys1=feedback(gs1,hs); gsys2=feedback(gs2,hs); t=[0:0.1:25]; figure(1); subplot(2,2,1);step(gsys1,t) subplot(2,2,3);step(gsys2,t) subplot(2,2,2);nyquist(gs1) subplot(2,2,4);nyquist(gs2) 奈氏稳定判据的内容是:若开环传递函数在s平