石河子大学信息科学与技术学院信号与系统课件第四章 拉鲁拉斯变换、连续时间系统的S域分析（2）.ppt

* 4.11 线性系统的稳定性 * 一、 由系统函数的极点判别系统的稳定性 1. 稳定系统：对于有界的激励产生有界的响应的系统。 2.系统稳定性分类： * （1）稳定系统：H(s) 的所有极点均位于 s 左半平面。 （2）临界稳定系统：H(s) 在虚轴上（包括原点）有一阶极点，其余的所有极点均位于 s 左半平面。 （3）不稳定系统：H(s) 有位于 s 右半平面的极点，或在虚轴上（包括原点）有二阶以上的极点。 * 例 如图所示反馈系统，已知其子系统的系统函数 * 试问常数 K 满足什么条件时，系统是稳定的？ 解：由图可得该正反馈系统的系统函数为 R(s) E(s) 要使极点都在左半平面，必须使 解得 K2，所以当 K2 时系统是稳定的。 H(s) 的极点为 * 4.12 双边拉普拉斯变换 在某些情况下，有时还要考虑双边时间函数，如周期信号、平稳随机过程等，或是不符合因果律的理想系统，这时就需要用双边拉普拉斯变换来分析。 一、双边拉普拉斯变换 1、双边拉普拉斯变换的定义 是一个双边函数 ，可将其分解为右边函数 和 左边函数 之和，即 * 若Fa(s)、Fb(s)同时存在，且二者有公共收敛域，则f(t) 的双边拉氏变换为右边函数 fa(t) 的拉氏变换 Fa(t) 和左边函数 fb(t) 拉氏变换 Fb(t) 之和。 如 与 没有公共收敛域，则 的双边拉氏变换就不存在。 将f(t)代入双边拉普拉斯变换的定义式，则有 * 2、如何求左边函数的拉氏变换 令 ，则上式成为 再令 ，则上式成为 综上所述，求取左边函数的拉氏变换 可按下列三个步骤进行： （1）令 ，构成右边函数 ； （2）对 求单边拉氏变换得 ； （3）对复变量 取反，即 ，就求得 。 * 例 求双边指数函数的双边拉普拉斯变换。 ， 解：首先求右边函数的拉氏变换 左边函数的拉氏变换 求取如下： （1） （2） （3） * 因为 ，所以 和 有公共收敛域 。 故 存在并为 * 二. 双边拉普拉斯反变换 例 求 ，的时间原函数。收敛域分别为 （1） （2） （3） 解：（1）由极点分布和给定收敛域作下图。可见，左侧极点为 ，右侧极点为 。 左侧的极点对应于 的右边函数 将 展开成部分分式有 右侧的极点对应于 的左边函数 * 对应于 的是左边函数 ， 的求取如下 ① 令 ，得 ； ② 对 求单边拉氏反变换，得 ③ 令 ，即 最后得其解为 * 三. 双边信号作用下线性系统的响应 例: 已知激励信号 ， 系统冲激响应为 ， 求系统的响应。 解：由双边拉氏变换有 而 可见, 与 有公共收敛域， 故 存在，则有 * 均为右侧极点，对应的右边时间函数为 故系统的响应 由收敛域可知， 为右侧极点，对应的左边时间函数为 4.13 拉普拉斯变换傅立叶变换的关系 * 拉普拉斯变换 傅立叶变换 * 因果 乘衰减因子 从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 * 傅氏变换不存在，拉氏变换存在。 从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 * 从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 * 存在傅氏变换，但收敛于虚轴，不能简单用 ，要包含奇异函数项。 * f(t)存在F(s)，但在j?轴不收敛； j?轴有N个单根极点： 从 的单边拉氏变换求它的傅氏变换 * 本章要求 * 1、掌握拉普拉斯变换的定义、物理意义及收敛。 2、熟练掌握常用函数的拉氏变换，包括阶跃函数、指数函数、冲激函数。 3、熟练掌握拉氏变换的性质：线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域平移、尺度变换、初值、终值、卷积等。 4、掌握用部分分式分解法计算拉普拉斯逆变换。； 5. 熟练掌握用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型。 * 本章要求 6. 理解系统函数的定义及物理意义；会求解系统函数。 7. 熟练掌握系统零、极点分布与其时域特征的关系。 8. 理解自由响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应和零、极点的关系； 9. 掌握系统零、极点分布与系统的频率响应的关系； 10