《复数的加法与减法》-公开·课件.pptVIP

* §5.3 复数的加法 与减法 一、复数加减法的运算法则： 1.运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么 z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加(减). 2.复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈ C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 3.易证: 4.例题选讲 例1:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-…-(2002-2003i). 解:原式=(1-2+3-4+…+2001-2002) +(-2+3-4+…-2002+2003)i=-1001+1001i. 例2:若f(z)=z,z1=3+4i,z2=-2+i,求f(z1-z2)的值. 解:因为z1-z2=(3+4i)-(-2+i)=5+3i, 故f(z1-z2)=(z1-z2)=z1-z2=5+3i. 说明:这里用到一个复数的共轭复数的共轭复数等于它 自身. 例3:已知 ,且z1+z2 对应的点位于第二象限,求 的范围. 解: 由已知得: 例4:设复数z满足 求z的值 和 的取值范围. 解:设z=a+bi(a,b∈R),则代入条件式得4(a+bi)+2(a-bi)= +i,即6a+2bi= i. 故所求的z= 的取值范围是[0,2]. 二、复数加减法的几何意义： 1.复数的加法可以按向量的加法法则进行, 即遵循平行四边形法则. 2.两个复数的差z1-z2(即OZ1-OZ2)与连结 两个向量终点并指向被减数的向量对应. 3.两点间的距离公式 (1)设复数z1、z2在复平面内对应的点分别为Z1、Z2, 则Z1、Z2两点间的距离公式为d=|z1-z2|. (2)以复数p的对应点为圆心,r为半径的圆的方程为: |z-p|=r. (3)以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线 方程为:|z-z1|=|z-z2|. (4)方程|z-z1|+|z-z2|=2a,当|z1-z2|2a时表示以z1、z2 的对应点为焦点,2a为长轴长的椭圆; 若|z1-z2|=2a,则以z1、z2的对应点为端点的线段. (5)方程|z-z1|-|z-z2|= 2a,当|z1-z2|2a时表示以z1、 z2的对应点为焦点,2a为实轴长的双曲线.若|z1-z2| =2a,则表示两条射线. 4.复数模的两个重要性质: 5.要会运用复数的几何意义去解题,它包含两个方面: (1)利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数 运算去处理; (2)反过来,对于一些复数运算式也可以给以几何解释, 使复数作为工具运用于几何之中. 例如:已知复数z1、z2、z1+z2分别对应点A、B、C, O为原点,且|z1+z2|=|z1-z2|,判断四边形OACB的形状. 把关系式|z1+z2|=|z1-z2|给以几何解释为:平行四边形 的两对角线相等,故四边形OACB是矩形. 6.例题选讲 例1:已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应 的复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:①AO表示的复数; ②CA表示的复数;③B对应的复数. 解:①AO=-OA,故AO表示的复数为-(3+2i)=-3-2i. ②利用CA=OA-OC,得CA表示的复数为(3+2i)-(-2+ 4i)=5-2i. ③OB=OA+AB=OA+OC,故OB表示的复数为(3+2i) +(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6i. 例2:已知复平面上ΔAOB(O为坐标原点)的顶点A所对 应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,求以 OA、OB为邻边的平行四边形的对角线长. 解:设B所对应的复数为a+bi,则O(0,0),A(1,2),B(a,b),重 心G(1,1). 由三角形的重心坐标公式得: 解得a=2,b=1,故B所对应的复数为2+i. 由复数的加减法的几何意义知,所求的对角线