第三章力学位移和应变分析.ppt

物体受到外力的作用时，物体内各点与点之间有相对位移，因而物体的形状和尺寸就会发生变化，即产生变形。 §3-1 位移分量和应变分量以及其间的关系 二.应变分量 考察物体内任意一微小线段 长度的相对改变 ? 正（线）应变 方向的相对改变 ? 剪（角）应变 三.应变分量和位移分量间的关系 §3-2 转动分量 物体内无限邻近两点位置的变化 二、物体内无限邻近两点位置的变化 §3-3 物体内一点的应变状态 二、求过A点的两条任意方向微分线段间夹角的改变量 矩阵表示 §3-4 转轴时应变分量的变换 §3-5 主应变和主方向 主应变与主方向之间的对应关系 方程根的讨论 必定为三个实根，证明方式同第二章证明应力时相同，采用反证法。 特点 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标变换不影响应变状态是确定的。 应变不变量就是应变状态性质的表现 §3-6 体积应变 §3-7 无旋变形和等体积变形位移矢量公式 §3-8 位移边界条件 位移边界条件例题 弹性半空间上有一厚度为H的弹性层二者紧密相连，试写出此半间与弹性层分界面上的位移边界条件。 §3.9 应变协调方程 数学意义： 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量描述 力学意义——变形连续 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束 应变协调方程 §3-１１ 球对称坐标中的变形表达式 几何方程的推导 几何方程的推导 （２）体积应变与位移分量间的关系： 本章小结 位移分量和应变分量的关系——几何方程 物体内无限临近两点之间的位置关系 如何表述物体内一点的应变状态——正应变和剪切应变 坐标旋转时应变分量的表示公式 主应变、应变主方向的求解，以及主应变和主方向之间的对应关系 无旋变形、等体变形和位移矢量公式 位移边界条件和应变协调方程 球对称坐标系的几何方程 二、等体积变形 管量场 如物体变形时，其中任一微小体积的大小都不改变，即体积应变为零，这样的变形称为等体积变形。在此情况下： 如果连续体内的位移场有一个矢量位 则位移场等于此矢量位的旋度。 这种位移场称为管量场或无源场。 位移场是管量场的必要充分条件是 证明： 1、 故证明了，如位移场是管量场，则位移场的散度等于零 2、 具体的求一组解的方法： 对y积分可以得到 可以满足上式。 可以得到此方程的一组解； 证明了由位移场的散度为零所决定的矢量位存在，但是解不是唯一的。 所以知道：如果位移场的散度为零，则此位移场是管量场。 三、位移矢量公式 一般情况下，物体变形时，其中任一微小体积既有体积改变，又作刚性转动。 因此，相应的位移场就是势量场和管量场的迭加。 即位移矢量可以分解为两个分矢量， 第一个分矢量表示无转动，而是纯体积膨胀的位移，就是标量位的梯度。 第二个分矢量表示没有体积膨胀的纯转动的位移，就是矢量位的旋度。 此为位移矢量公式 解决弹性力学问题，必须考虑边界条件 力的边界条件：物体表面上给定了面力， 位移边界条件：物体表面给定的是位移。 力的边界条件给出了应力和面力之间的关系。 位移边界条件是指当物体变形时，相应的位移函数在边界上应满足的条件。 如果物体表面的位移已知，称为位移边界 位移边界用Su表示。 如果物体表面的位移 已知 边界条件为 称为位移边界条件 设物体表面为S 位移已知边界Su 面力已知边界Ss 则 S＝Su＋Ss 弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边界构成的。 任意一段边界，可以是面力边界，或者位移边界。 面力边界和位移边界在一定条件下是可以转换的，例如静定问题。 某些问题，边界部分位移已知，另一部分面力已知，这种边界条件称为混合边界条件。 不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，弹性体任意边界的边界条件数目不能超过或者少于3个，必须等于3个。 变形协调方程的数学意义 使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。 变形协调方程的物理意义 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。 §3.9 应变协调方程 由连续性假设，物体在变形前后均是连续体，因此物体内各单元体与单元体之间的变形必须相互协调；否则各单元体发生变形以后，就不能再组成一个连续体。 位移分量：u，v，w 应变分量： 几何方程： 例3-1 设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。 解： 显然该应变分量没有对应的位移。 要使这一方程组不矛