求二面角的几何法.docVIP

PAGE PAGE 1 3种求二面角的几何法 二面角的度量问题是立几中学生比较困难的一个问题，课本上是通过它的平面角来进行度量的，关键在于充分利用平面角的定义。下面来介绍求二面角的大小的几种方法： 直二面角情况：一般是通过几何求证的方法，主要依据是直线与平面垂直的判定定理。 例1. 如图 ABCD是矩形，AB =a，BC =b (a b)，沿对角线AC把 △ADC 折起，使 AD ⊥BC，证明：平面 ABD ⊥平面BCD。 BA B A D C AD ⊥BC，AD⊥DC ∴ AD⊥面BCD 又 AD 面ABD ∴ 平面ABD⊥平面BCD 例2. 在四棱锥 A-BCDE中，底面是直角梯形，其中 BC∥DE，∠BCD =90°，且 DE =CD =BC，又AB =AE =BC，AC =AD， MNED M N E D A B C 证明：取BE的中点M，CD的中点N， 连结 AM，AN，MN， ∵ AB =AC (已知) ∴ AM⊥BE 同理 AC =AD 有AN⊥CD 在直角梯形BCDE中， ∵ M、N分别是BE、CD的中点 ∴ MN ∥BC 又 ∠BCD =90° ∴ MN⊥CD ∴ CD⊥面AMN ∴ CD⊥AM 又 AM⊥BE，CD、BE 是梯形的两个腰，即它们一定相交， ∴ AM ⊥面BCD， 又AM面ABE ∴ 面ABE⊥面BCD。 当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。 1.充分利用二面角的定义，证明某角即为二面角的平面角，如找不到现成的，则可以通过三垂线定理或其逆定理把它作出来再计算。 例3.如图三棱锥 P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC = ，D是 BC的中点，且△ADC是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB－C的大小。 DP D P C A B ∴ CD =BD =2 又△ADC是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2 ∴ D是△ABC之外心又在BC上 ∴ △ABC是以∠BAC为直角的三角形， ∴ AB⊥AC， 又 PC⊥面ABC ∴ PA⊥AB (三垂线定理) ∴∠PAC即为二面角 P-AB-C之平面角， 易求 ∠PAC =30° 例4.如图在三棱锥 S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分SC，且分别交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。 EDBA E D B A S C ∴ BE⊥SC，SC⊥面BDE ∴ BD⊥SC，又SA⊥面ABC ∴ SA⊥BD，BD⊥面SAC ∴ BD⊥DE，且BD⊥DC 则 ∠EDC就是所要求的平面角 设 SA =AB =a， 则 BC =SB =a 且 AC = 易证 △SAC∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60° 例5. 如图：ABCD是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O点，P是平面 ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。 SRNM S R N M O B D P A C ∵ PO⊥面ABCD ∴ MN⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NR⊥BD 于 R，连MR， 则 ∠MRN即为二面角 M-BD-C的平面角 过 C 作 CE⊥BD于S 则 RN =CE 在 Rt△BCD中，CD·BC =BD·CE ∴ ∴ ∴ 2.利用 此方法的优点只要找出射影图形及两个面积，不需要找出两面角的平面角，缺点是计算相对烦一些。 DBAEC 例6.如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，∠ABC = D B A E C 解：过 A作 AE⊥CB的延长线于E， 连结 DE， ∵ 面ABC⊥面BCD ∴ AE⊥面BCD ∴ E点即为点A在面BCD内的射影 ∴ △EBD为△ABD在面BCD内的射影