电动力学-静电场2.ppt

* 第二章 静电场 唯一性定理 哈尔滨工程大学理学院 * §2.2 唯一性定理 本节内容将回答两个问题： (1) 要具备什么条件才能求解静电问题 (2) 所求的解是否唯一 1、静电问题的唯一性定理 (1) 有介质存在的情况 把一个区域V找分为许多小区域Vi，每一个小区域内介电常数为?i，它是各向同性的。 每个区域给定电荷分布 S V 每个均匀区域中满足泊松方程 各区域的交界面 至此，不知道边界条件，即不知道区域的边界S上的一些条件。这个问题正是唯一性定理要解决的，下面讨论之。 唯一性定理： 则V内的电场唯一地被确定。 设区域V内给定自由电荷分布，在V的边界S上给定 （i）电势 或 （ii）电势的法向导数 ， 证明 设有两组不同的解??和???满足唯一性定理的条件，只要让 即可。 令 在均匀区域Vi内有 在两均匀区界面上有 在整个区域V的边界S上有 或者 为处理边界问题，考虑第i个区域Vi的界面Si上的积分。 根据格林公式 令 对所有区域求和，得 ?和?是任意两个连续函数 首先看 在两均匀区域Vi和Vj界面上，? 和??? 的法向分量相等。 又 在S面上 或 （V内任一点） ??和???至多只能相差一个常数，静电场是唯一的。 （2）有导体存在的情况 讨论区域是导体外空间V，V是由导体外表面S1，S2及S所包围的空间。 S V S2 ? ? S1 当S在无穷远处时，所讨论的区域就是导体外的全空间V。 约定：在无穷远处，电场为零，即在S?面上 ?=0或者表示成 A类问题：已知区域V中电荷分布 ，及所有导体的形状和排列；每个导体的电势都给定。 B类问题：已知区域V中电荷分布 ，及所有导体的形状和排列；每个导体的总电荷都给定。 导体面就是边界面，故导体的电势或者总电荷就是边界条件。 (a) 先用反证法证A类问题 证明：设存在着两个解??和???。 Si为第i个导体的表面，该导体的电势为?i。 则 在S∞面上 应用格林公式 令 (在V中每一点上) 在导体表面上 ?常数=0 这说明了对A类问题?有唯一解。 (b) 再用反证法证B类问题 证明：设存在着两个解??和???。 令?=? 代入格林公式中，得 在导体表面Si处，电势没有给定，但在静电平衡时导体为等势体, 与 不一定相等。 但对同一导体而言 ?i 应为一确定值。 故?i可从积分号内提出来 导体静电平衡时，导体表面处的场强与表面垂直。 Q?和Q??都表示第i个导体的总电荷，是给定的。 故对每一个导体表面而言 常数对电场无影响，故 ?是唯一的。 唯一性定理（另外一种证明方法） 区域V由封闭面S0、S1、 S2 、···等所围，S0是最外包围面。 S0 V S1 S2 ? 如果V内的电荷密度分布已知，且各边界面满足下列条件之一时，区域V内电场强度被唯一确定。 (i) Si面上电势已知。 (ii) Sj面为等势面。 且Sj面上流出的电通量已知。 (iii) Sk面上的电场法线分量En已知。 证明：设有两个电势??和???，它们都满足场方程 下面证明 即 要证明场中每一点 成立，只需证明 原因： 由矢量恒等式 现在考察上式右边的面积分的值。 (a) 设Si面满足(i)类边界条件，则 (b)设Sj面满足(ii)类边界条件， (c) 设Sk面满足(iii)类边界条件，则 由于在Sk面上En值给定，则 唯一性定理证毕。 2、用唯一性定理解决实际问题 [例1]有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上，介质的介质常数分别是?1与?2。若导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电荷分布。 Q a 解：设导体球上下两半球各自带电量为q1和q2 ，则 导体球是等势体，上下半球电势相等，即 另外，总电荷Q一定，无限远处电势为0。 故满足唯一性定理条件。 根据唯一性定理 电荷面密度为： [例2]两同心导体球壳之间充以两种介质，左半球介电常数为?1，右半球介电常数为?2。设内球壳半径为a，带电荷为Q，外球壳接地，半径为b，求电场和球壳上的电荷分布。 b a S1 S2 (a)写出电势? 满足的方程、边值关系及边界条件 区域V为导体球与球壳之间的空间，边界面有两个S1和S2，S1是导体球表面，S2是导体球壳内表面。 解 交界面 在S1面上，已知Q 在S2面上，已知?=0 现在不论用什么方法，只要求出的点函数 能满足上述条件，那么 就是本题的唯一解。