傅里叶变换经典.ppt

积分变换 例 矩形脉冲函数为 则 前面计算出 则 则在T=8时, 如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出 一般地, 对于周期T 2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数. 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入 一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t) 表示上述电路中的电荷函数, 则 当t?0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通 导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的. 如果我们形式地计算这个导数, 则得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进 一个称为狄拉克(Dirac)函数, 简单记成d-函数: 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例 如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的 非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以 统一的方式加以解决. de(t) 1/e e O （在极限与积分可交换意义下） 工程上将d-函数称为单位脉冲函数。 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个 线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度. t O d (t) 1 d-函数有性质： 可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分 都有明确意义。 d-函数的傅氏变换为: 于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对. 证法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆变换可得 例1 证明：1和2pd (w)构成傅氏变换对. 证法1： 由上面两个函数的变换可得 例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数 等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉 冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. 所谓 广义是相对于古典意义而言的, 在广义意义下, 同样可 以说,象原函数f(t)和象函数F(w)构成一个傅氏变换对. 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅 氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件 例4 求正弦函数f (t)=sinw0t的傅氏变换。 p p -w0 w0 O w |F(w)| t 例 5 证明： 证： Fourier变换 Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分 (周期趋于无穷时的极限形式) §1 Fourier积分公式 1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数fT(t)打交道. 例如: 具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). t 最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的 情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的 情况. 是以T为周期的函数，在 上满足 Dirichlet条件： 连续或只有有限个第一类间断点； 只有有限个极值点； 可展开成Fourier级数，且在连续点t处成立： 引进复数形式： 级数化为： 合并为： 级数化为： 若以 描述某种信号， 则 可以刻画 的特征频率。 对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期 函数fT(t)当T??时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于 f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T?? 时,周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有 如图所示: 1 -1 O t f (t) 1 1 -1 3 T=4 f4(t) t 现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则 sinc(x) x sinc函数