创意平板折叠桌数学建模竞赛B题全国二等奖论文.doc

PAGE 20 创意平板折叠桌 摘 要 本文讨论了平板折叠桌折叠的动态变化过程及相应的参数设计问题，以及在一定条件下折叠桌的最优设计加工参数求解问题。利用空间解析几何知识，建立了非线性规划模型，用MATLAB软件和LINGO软件进行求解，得到了各种条件下的各个参数的尺寸。 针对问题一，根据题目所提供图1，从最外侧桌腿木条到中间桌腿木条依次编号为。首先证明了在四条支撑腿底端构成正方形时稳固性较好；然后运用几何关系得到了在完全折叠成桌子时的各桌腿与折叠桌下底面的夹角、各桌腿与钢筋交点到相应铰链的距离以及桌腿底端点坐标都是桌面最外侧一根木条铰链处到圆形桌面直径的距离的函数。利用这些函数关系，使用MATLAB编程计算，得到了圆形桌面最外侧桌腿铰链处到过桌面中心垂直于桌腿的直线的距离6.35 cm，1到10号桌腿开槽长度依次为：0，4.67，8.11，10.94，13.29，15.22，16.77，17.94，18.78，19.28（cm）。还求出了各桌腿底端点的坐标并对这些点在其中两个坐标平面的投影作二维坐标曲线拟合，从而桌腿底端边缘线为以上两条拟合曲线为准线，母线垂直于对应坐标平面的两个柱面的交线。 针对问题二，折叠桌的稳定性由四条支撑腿确定，用材由每条桌腿的宽度确定，加工方便由开槽确定，根据任意给定的折叠桌的高度和圆形桌面直径，以加工方便为目标函数，桌腿与桌面之间的几何关系为约束条件，建立了非线性规划模型，用MATLAB编程计算给定桌高为，圆形桌面直径为时的平板长度为，宽度为 ，厚度为，木条宽度为，单侧木条数为17条。 针对问题三，确定桌腿几何形状为与平板平行的长方体，由几何知识可以得出桌面形状关于重心对称，得到桌面为偶数条边的正多边形和椭圆两类形状。在人机交互环境下，给定任意桌面高度，椭圆长轴和短轴参数下，以用料最省和加工简单为目标的条件下，建立非线性规划模型，解出开槽长度、桌腿条数和桌腿宽度的具体加工参数。对于短半轴为、长半轴为和高度为的桌面为椭圆的折叠桌，求出了各条桌腿的开槽长度依次为0，10.29，18.57，25.41，31.00，35.52，39.08，41.78，43.67，44.78（cm），平板尺寸为，钢筋到相应桌腿的长度占整条桌腿的长度比例为。 关键词：非线性规划；MATLAB编程；LINGO编程；稳固性 一、问题的重述 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。 试建立数学模型讨论下列问题： 1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。 2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。 3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。 二、问题的分析 2.1问题一分析 该问是一个给定平板尺寸，每根木条宽度，折叠后桌子的高度，要求建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并求出折叠桌的设计加工参数和桌角边缘的数学描述的问题。题中要求折叠后桌子的高度为53cm，而由于每根木条的厚度为3cm，假设桌腿铰链固定在桌面下边缘，所以折叠后桌子圆形桌面下底面到地面的高度50cm。在桌子折叠的过程中，随着桌子高度的变化，各桌腿与圆形桌面的夹角，各桌腿端点位置，各桌腿中钢筋到相应铰链的距离也相应发生变化，因此可以用这些参数随折叠桌高度的变化来描述此折叠桌的动态变化过程。在求各参数的过程中，每个参数都与圆形桌面最外侧一根木条铰链到圆形桌面直径的长度有关。若要求出各参数的具体值，就必须先确定合理的圆形桌面最外侧一根木条铰链到圆形桌面直径的长度。可以从桌子的稳固性出发，求出圆形桌面最外侧一根木条铰链到圆形