线性代数习题及答案(复旦版).docVIP

PAGE PAGE 26 线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n(n?1)…321； (4) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n(n?1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n?1)=; (4) τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式的展开式中包含和的项. 解： 设 ，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有 展开式中含项有 . 5. 用定义计算下列各行列式. (1)； (2). 【解】(1) D=(?1)τ(2314)4!=24; (2) D=12. 6. 计算下列各行列式. (1)； (2) ； (3)； (4) . 【解】(1) ; (2) ; 7. 证明下列各式. (1) ； (2) ； (3) (4) ； (5) . 【证明】(1) (2) (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式: 从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为 但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故 (4) 对D2n按第一行展开，得 据此递推下去，可得 (5) 对行列式的阶数n用数学归纳法. 当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立. 按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加： 但由归纳假设 从而有 8. 计算下列n阶行列式. (1) (2) ； (3). (4)其中 ； (5). 【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得 将第一行乘（?1）后分别加到其余各行，得 (2) 按第二行展开 (3) 行列式按第一列展开后，得 (4)由题意，知 . (5) . 即有 由 得 . 9. 计算n阶行列式. 【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得 将第一行乘（?1）后加到其余各行，得 10. 计算阶行列式（其中）. . 【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式. 11. 已知4阶行列式 ; 试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式. 【解】 同理 12. 用克莱姆法则解方程组. (1) (2) 【解】方程组的系数行列式为 故原方程组有惟一解，为 13. λ和μ为何值时，齐次方程组 有非零解? 【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式 即 故或时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组 有非零解时，a,b必须满足什么条件？ 【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b需满足 即(a+1)2=4b. 15. 求三次多项式，使得 【解】根据题意，得 这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于 故得 于是所求的多项式为 16. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为 ax+by+c=0 (a,b不同时为0) 按题设有 则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为 上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件. 习题 二 1. 计算下列矩阵的乘积. （1）； （2）　； （3）　； （4）　； （5） ； （6）　. 【解】 (1) (2); (3) (10); (4) (5); (6) . 2.　 设，， 求(1);(2) ；(3) 吗? 【解】(1) (2) (3) 由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2. 3. 举例说明下列命题是错误的. (1) 若， 则； (2) 若， 则或； (3) 若，， 则. 【解】 (1) 以三阶矩阵为例，取,但A≠0 (2) 令,则A2=A,但A≠0且A≠E (3) 令 则AX=AY,但X≠Y. 4.　设, 求A2，A3，…，Ak. 【解】 5.　 ，　求并证明： . 【解】 今归纳假设 那么 所以，对于一切自然数k,都有 6. 已知，其中 求及. 【解】因为|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得 而 7. 设，求||. 解：由已知条件，的伴随矩阵为 又因为，所以有