SARS传播的数学模型_全国数模竞赛优秀论文.doc

SARS传播的数学模型 摘要 本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合. 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常. 最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性. 1．问题的重述 SARS（严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作： 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS对社会经济的影响. 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价 题目要求建立SARS的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确： 合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息. 2.1早期模型简述 早期模型是一个SARS疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为， 平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），K代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的范围内K值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变. 平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天.整个模型的L一直被定为20.则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是： 考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉. 2.2早期模型合理性评价 根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K=0.13913.高峰期后的K值按香港情况变化，即10天范围内K值 图1 早期模型计算值与实际值对比图 从图1可以看出，从 4月20日至5月7日模型计算值与同期实际值的拟合程度比较好，但5月7日后模型计算值（即预测值）随着日期的增长逐渐偏离实际值. 为了进一步验证上述分析，对模型计算值曲线和实际值进行残差分析，记表示第i天实际累计病例，表示第i天计算累计病例.计算 其中，用作为的估计： 做出标准化残差的分布图，如图2： 图2 早期模型的标准化残差分布图 可以很明显地看出，在后期，残差图上出现明显的单减规律性，预测值高于实际值，说明预测值确实逐渐偏离实际值. 通过以上分析得合理性评价： eq \o\ac(○,1)从预测准确度上有失合理性，虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较好，但对后期情况的预测出现较大偏差. eq \o\ac(○,2)尽管预测准确程度不高，但是该模型确实预测出了整个疫情的发展趋势.从这一点上看，该模型还是切合实际的. eq \o\ac(○,3)该模型选用公布数据直接拟合，从而预测后期疫情发展趋势，这有悖于模型