贝叶斯统计复习.doc

贝叶斯统计习题 1.设是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如 先验分布为(1) 00 U (0,1) z、[2 (1?) , Ovvl (2)兀(I 卄亠 [o, 其它 求的后验分布。 解： _J1, 001 1.3(1)兀(X)=(0 其它 x：检验8个产甜仃3个不合格 1 i(8 m(x)二 Jp{x\0)7i(0)dO - J 0 1 1(1 -e)5d6 二 J561 -。)5刖 0 兀(|x)=MF川°)= 504^(1 _纣 001 777(X) 001其它 m (x) = J； p{x | )龙() 〃二 J； (1 — ) * 2(1- )de = J； 112/ (1 — dO 龙(0卜)=卩(刎?：⑹=840少(1 Of,。 O{ m[x) 2.设壬注2,…也是来自均匀分布U (0,)的一个样本，又设的先验分布为Pareto分布, 其密度函数为 龙()= 龙()= 其中参数％0,G 0,证明：的后验分布仍为Pareto分布。 解：样本联合分布为： p{x\d) = -^^x0 卩曙/歼，4 I 0, 00{} 71(0 x) oc p(x e)兀⑹=a蹲 / 0a+n+i oc 1 / E+1， q = max {%,石，…，￡} 因此的后验分布的核为1 / 0a+n+l,仍表现为Pareto分布密度函数的核 即龙（0卜）= 即龙（0卜）= （0 +力罗/曲旳 0, eex 即得证。 3.设X],*2,…爲是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为#（月2）二20心,x0 , （1） 证明：伽玛分布Gq（q,0）是参数2的共觇先验分布。 （2） 若从先验信息得知，先验均值为0.0002,先验标准差为0.0001，确定其超参数0,0。 解： ⑴样本的似然函数：p（x\A） = Ane - =22皿 参数Q的后验分布龙（用对8卩（兀|/1）龙（2）oc才曲几 服从伽马分布Ga（Q + /?, 0 + /lx）. （7 —=0.0002 （2）」0 n 0 = 4,0 = 20000. ry — = 0.00012 4?设一批产品的不合格品率为0,检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停 止检查，若设X为发现第一个不合格品是己经检查的产品数，则X服从几何分布，其分布 列为 p（x =x\ ）= （17尸,兀=1,2,… 假如只能以相同的概率取三个值1/4, 2/4, 3/4,现只获得一个观察值x=3,求0的最大后 验估计o 解：的先验分布为 P 砂=才）=*,￡ = 1,2,3 在给定的条件下，X=3的条件概率为 尸（比=3出）=%1 — 尸 联合概率为 Hx=3 Hx=3^=4）=i X=3的无条件概率为p（X = 3〉= X=3的无条件概率为 p（X = 3〉=勺 ? *（寻严+舟V）舛乎（+刃=島 L 4 4 4 4 44」48 的后验分布为 0F 0 F（心〃4iX = 3） 1/4 2/4 3/4 9/20 8/20 3/20 0的最大后验佔计0⑷=1/4。 5。设x是來自如下指数分布的一个观察值， p(x\3)=e(x (f\x 収柯西分布作为的先验分布，即 7r(3)= —~-V ,-°° °° \ 7 兀(1+2) 求的最大后验估计 解后验密度 为了寻找0的最大后验估计我们对后验密度使用微分 法，可得 务(也〉=走殳[名 _石㈱」 _ 广7(4] )2 观(无)(1 + 2)坯— 由干打(0匕)的非减性?考虑到的取值不能超过工，故0的最大后 验估计应为血=工° 6.设兀二（坷旳,…也）是来自均匀分布t/（0,）的一个样本，又设服从Pareto分布，密度函 数为 兀()= 兀()= 求的后验均值和后验方差。解：的先验分布为：龙“ 求的后验均值和后验方差。 解：的先验分布为：龙“ [o, eo. 令 q =max{o，Xp …,兀“} 可得后验分布为：讷沪$+咒/严 则的后验期望估计为：E（”）二, n + a-\ oe{ 后验方差为:Var(3\x) =(z2 后验方差为: Var(3\x) = (z2 + a —1)~ (z? + a — 2) fl 1 7.设x服从伽玛分布Ga（上,——），的分布为倒伽玛分布/Gq（g,0）, 2 2 n X （1） 证明：在给定兀的条件下，的后验分布为倒伽玛分布/Go（上+/送+0）。 2 2 （2） 求的后验均值与后验方差。 A2 1 解：由兀?Ga（—?/Ga（a,0）可以得出 2 2 1 - （―）2 J I. /心/ ￡ 2 兀 0 r（2} （1）的后验分布为： TOC \o 1-5 \h \z _（〃++]） X+2』 兀（卜）* p（x\3）7r（0） oc 2 e 29 fl Y