数学建模实验5-微分方程求解.doc

湖南第一师范学院数学系实验报告 姓名： 学号： 专业： 数学与应用数学 班级： 课程名称： 线性规划与数学建模 实验名称： 微分方程（组）的Matlab求解 实验类型： 基础实验 实验室名称： 数学建模实验室 实验地点： 实A302 实验时间： 2016年6月14日 指导教师： 成绩评定： 一、实验目的与要求： 掌握微分方程（组）的解析解法。 了解微分方程（组）的数值解法。 会微分方程（组）的一些简单应用。 二、实验环境（实验器材、环境要求）： 计算机 Matlab软件 三、实验内容（实验原理、任务等）： 1、 求微分方程的解析解, 并画出它们的图形。 （1） ，，； （2） ，，。 2、求下列微分方程组的通解. 3、求下列方程（组）的数值解，并画出它们的图形。 （1）（） （2）（） （3）求方程（） 4、（追击路线问题）一艘缉私舰雷达发现距c km处有一艘走私船正以匀速 a 沿直线行驶。缉私舰立即以最大的速度 b 追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。建立数学模型并用matlab编程求解。（假设：缉私舰发现敌艇时的相距：c = 500公里；走私船逃跑速度：a = 60公里/小时；缉私舰追击速度：b = 80公里 四、实验具体步骤： 1.（1）编写M文件 x=[0,1] y=dsolve(Dy=y+2*x) y=dsolve(Dy=y+2*x,y(0)=1,x) ezplot(x,y) 输出通解 x = 0 1 y = -2*x+exp(t)*C1 y = -2*x-2+3*exp(x) 编写绘制图形代码 x=0:0.01:1; y=-2*x-2+3*exp(x); plot(x,y) 输出图形如右 （2）编写M文件 y=dsolve(D2y+y=cos(x),x) y=dsolve(D2y+y=cos(x),y(0)=1,Dy(0)=0,x) 输出通解 y=sin(x)*C2+cos(x)*C1+1/2*cos(x)+1/2*sin(x)*x y =cos(x)+1/2*sin(x)*x 编写绘制图形代码 x=linspace(0,2*pi); y=cos(x); plot(x,y) 输出图形如右 2.编写M文件 [x,y,z]=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z,t) 输出通解 x = C2*exp(-t)+C3*exp(2*t) y = C2*exp(-t)+C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1 z = C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1 3. （1） 建立M文件weif.m，如下： function f=weif(x,y) f=y-2*x/y; 求解： [x,y]=ode23(weif,[0,1],1) plot(x,y,r); x = 0 0.0800 0.1800 0.2800 0.3800 0.4800 0.5800 0.6800 0.7800 0.8800 0.9800 1.0000 y = 1.0000 1.0770 1.1662 1.2490 1.3267 1.4000 1.4697 1.5363 1.6001 1.6614 1.7206 1.7322 图形如右 （2） 建立M文件rigid.m，如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2); 取t0=0，tf=15，输入命令： [T,Y]=ode45(rigid,[0 15],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+) 结果如图 （3） 解：令y1=x,y2=y1’ 则微分方程变为一阶微分方程组： 建立M文件 function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1) 取t0=0,tf=3000,输入命令： [T,Y]=ode15s(vdp1000,[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),-) 结果如图 4. 建立如下微分方程模型： 其中， 转化为一阶微分方程组： 得 建立M文件： function f=zhuiji(x,y) f=[y(2);0.75*sqrt(1-y(2)^2)/x]; 取t0=0,tf=500,输入命令： [x,y]=ode23(zhuij