二维随机变量及条件分布.ppt

概率论与数理统计第五讲 二维随机变量 第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布 二. 联合分布函数 四.二维连续型随机变量及其密度函数 第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布 二、边缘分布律 三、边缘密度函数 第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布 例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 故关于X和Y的分布律分别为： X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5 为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。 设(X, Y)～f (x, y), (x, y)?R2, 则称 为(X, Y)关于X的边缘密度函数； 同理，称 边缘分布函数 例3.设(X,Y)的概率密度为 (1)求常数c; (2)求关于X的边缘概率密度fX(x) 和边缘分布函数FX(x) 解: (1)由归一性 例4. 设(X,Y)的概率密度为 (1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度. 问题 3.3 条件分布 设随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )， X和Y的边缘分布律分别为 一.离散型随机变量的条件分布律 为Y＝ yj的条件下，X的条件分布律; 若对固定的j, p.j0, 则称 同理，对固定的i, pi. 0, 称 为X＝ xi的条件下，Y的条件分布律; 例1 解 由上述分布律的表格可得 * * 图示 3.1 二维随机变量 一、多维随机变量 1.定义 将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维向量 (X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。 一维随机变量X——R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,…,Xn)——Rn上的随机点坐标 多维随机变量的研究方法也与一维类似， 用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律 实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量. 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. 实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ). 说明 几何意义：分布函数F( x0,y0)表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分： 设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)?R2, 则称 F(x,y)=P{X?x, Y?y} 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 对于(x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ),则 P{x1X? x2， y1Y?y2 } ＝F(x2, y2)－F(x2, y1)－ F (x1, y2)＋F (x1, y1). (x1, y1) (x2, y2) (x2, y1) (x1, y2) 分布函数F(x, y)具有如下性质： 且 (1)归一性 对任意(x, y) ?R2 , 0? F(x, y) ? 1, (2)单调不减 对任意y ?R, 当x1x2时， F(x1, y) ? F(x2 , y)； 对任意x ?R, 当y1y2时， F(x, y1) ? F(x , y2). (3)右连续 对任意x?R, y?R, (4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)?0. 反之，任一满足上述四个