小学六年级奥数第十九章圆锥和圆柱.doc

第十九章 圆锥和圆柱 知识要点 圆柱、圆锥的意义，表面积、体积的计算方法及计算公式是相互关联的，理解掌握计算公式是非常重要的。 名称 意义 表面积计算公式 体积计算公式 圆柱体 一个长方形以它的一边为轴旋转一周形成的几何体 表面积＝侧面积 ＋底面积×2 S＝Ch＋2r 体积＝底面积 ×高 V＝Sh 圆锥 一个直角三角形以它的一条直角边为轴旋转一周形成的几何体 表面积＝侧面积 ＋底面积 S＝r＋r2 体积＝×底面 积×高 V＝r2h (其中r表示底面圆的半径，h表示高，C表示底面周长，V表示体积，S表示面积，表示母线长) 计算圆柱和圆锥的表面积和体积时，要注意分析题中的已知条件，善于发现所求问题和已知条件的关系，通过转换或变换找出内在的联系。 例1 一个圆柱体，高4厘米，把它的底面分成许多个相等的扇形，然后切开，拼成一个与圆柱体等底、等高的近似长方体，这时长方体的表面积比圆柱的表面积增加了48平方厘米。求圆柱体的体积是多少立方厘米。 点拨 长方体的六个面，其中有四个面是由圆柱转换来的，有两个面即被切开后没有盖住的两个长方形，长都是圆柱的高，宽都是底面的半径。 解 圆柱的底面半径： 48÷2÷4＝6(厘米) 圆柱的底面积： 62×3.14＝37.68(平方厘米) 圆柱的体积： 37.68×4＝150.72(立方厘米) 答：圆柱的体积是150.72立方厘米。 例2 一个圆柱形钢材被切割成如下形状，求圆柱形钢材剩下的侧面积是多少？ 点拨 我们可以发挥一下想象：剩下的侧面展开后会是一个什么形状？(可做实验)我们会发现是两个一样的梯形，所以我们求两个梯形的面积问题可解。 解 (4＋5)×(3.14×2×)××2 ＝9×3.14 ＝28.26(平方分米) 其中3.14×2×是底面周长的一半，即梯形的高。 答：剩下的侧面积是28.26平方分米。 例3 一个草垛，上面是一个圆锥，底面周长是6.24米，圆锥的高是0.6米；下面是一个圆台，下底面周长为4.71米，圆台的高是1.5米。如果每立方米的草重160千克，这个草垛草的总重量有多少千克？(结果保留整千克) 点拨 已知两底面的周长，可以求出半径，并应用公式求出体积。圆台的体积应是大圆锥的体积减去小圆锥的体积，题中没有直接给出下面小圆锥的高，这就要利用设未知数的方法来求。 解 设下面小圆锥的高O2C为x米。 半径O2B＝4.71÷3.14÷2＝0.75(米) 半径O1A＝6.24÷3.14÷2＝1(米) 根据三角形O2BC的面积十梯形O1O2BA的面积＝三角形O1AC的面积，即 0.75x÷2＋(1＋0.75)×1.5÷2＝1×(x＋1.5)÷2 0.75x＋2.625＝x＋1.5 0.25x＝1.125 x＝4.5 圆台的体积： 12××(1.5＋4.5)×－0.752××4.5× ＝2－ ＝ 圆锥的体积：12××0.6×＝ 草垛草的总重量： 160×(＋) ＝217 ＝681.31(千克) ≈681千克 答：草垛的草约重681千克。 例4 有一个长20厘米的圆柱体，圆柱的底面半径是3厘米。在圆柱的一个底面上挖一个4厘米深的最大圆锥，求所剩下立体图形的表面积和体积。 点拨 圆锥表面积的计算要首先求出母线AB的长，底面圆的半径OB＝3是已知的，可以求出圆锥的侧面积。圆锥的展开图是一个以母线长为半径的扇形。圆锥底面的周长是扇形圆心角所对的弧长，弧长占扇形所在圆周长的几分之几，扇形面积就占所在圆面积的几分之几。 解 由勾股定理得：AB＝＝＝5(厘米) 圆锥的侧面积：r＝×3×5＝15 圆柱的侧面积：3×2×20＝120 圆柱的底面积：32×＝9 所求图形的表面积：15＋120＋9 ＝144 ＝452.16(平方厘米) 圆柱的体积：32××20＝180 圆锥的体积：32××4×＝12 所求图形的体积：180－12 ＝168 ＝527.52(立方厘米) 答：所求图形的表面积是452.16平方厘米，体积是527.52立方厘米。 解题技巧 求圆柱、圆锥的表面积和体积主要是应用公式解决