压杆稳定培训课件.ppt

2. 杆的任意x截面上的弯矩为 从而有挠曲线近似微分方程： 上式等号右边的负号是因为对应于正值的w， 为负而加的。 (b) 精品 令 k2=Fcr /EI，将上式改写为 亦即 此微分方程的通解为 从而亦有 式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。 精品 对于此杆共有三个边界条件。 由边界条件x=0，w? =0 得 A=Fy /(kFcr)。又由边界条件x=0，w=0 得 B=-Fy l /Fcr。将以上A和B的表达式代入式(a)有 (a) 再利用边界条件x=l，w=0，由上式得 精品 由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等于零，故由上式得 满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即 ，从而得到此压杆求临界力的欧拉公式： 亦即 精品 3. 将 kl = 4.49，亦即 k = 4.49/l 代入式(c)即得此压杆对应于上列临界力的挠曲线方程： 利用此方程还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下挠曲线上的拐点在 x = 0.3l 处(图b)。 (b) 精品 压杆的长度因数和相当长度 精品 表9-1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。 表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式： 式中，m 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关；m l 称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为m l 的两端铰支压杆的临界力。表9-1的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况下的相当长度m l。 精品 运用欧拉公式计算临界力时需要注意： 当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Imin。 当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下： x y z 轴销 精品 对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定， 对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支， 而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。 x y z 轴销 精品 思考： 图a，b所示细长中心压杆均与基础刚性连接，但图a所示杆的基础置于弹性地基上，图b所示杆的基础则置于刚性地基上。试问两压杆的临界力是否均为 ？为什么？并由此判断压杆的长度因数 m 是否可能大于2。 精品 §9-4 欧拉公式的应用范围·临界应力总图 Ⅰ. 欧拉公式应用范围 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限sp的情况。 按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Fcr作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按scr＝Fcr /A来计算，亦即 精品 式中，scr称为临界应力； 为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；ml /i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比(slenderness)或柔度，记作l，即 根据欧拉公式只可应用于scr≤sp的条件，由式(a)知该应用条件就是 亦即 或写作 精品 可见 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。 对于Q235钢，按照 E＝206 GPa，sp ＝200 MPa，有 通常把l≥lp的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把llp的压杆，亦即不能应用欧拉公式的压杆，称为小柔度压杆。 精品 图中用实线示出了欧拉公式应用范围内(l≥lp)的scr -l曲线，它是一条双曲线，称为欧拉临界力曲线，简称欧拉曲线。需要指出的是，由于实际压杆都有初弯曲，偶然偏心和材质不匀，所以从实验数据来分析，可以应用欧拉公式求临界力的最小柔度比这里算得的lp要大一些。 精品 §9-5 实际压杆的稳定因数 为保证实际压杆具有足够的稳定性，在稳定计算中需纳入稳定安全因数nst，取稳定条件(stability condition)为 式中，[s]st=scr/nst为压杆的稳定许用应力。 亦即 由于scr与压杆的柔度l有关，而且考虑到不同柔度的压杆其失稳的危险性也有所不同，故所选用的稳定安全因数nst也随l 变化，因此[s]st是一个与压杆柔度的关系比较复杂的量。 精品 为了应用方便，将稳定许用应力[s]st写为材料的强度