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定理11. 4．3 对实数集R，A?R，则A’是闭集，即(A’)’?A’， 定理11．4．4 任意个闭集的交集是闭集．有限个闭集的并集是闭集． 例5 设A＝{A1，A2，A3，...}，其中An＝[1/n,1]都是闭集，但是UA=(0，1]不是闭集．由此可见，无限个闭集的并集不一定是闭集． 精品 11．4．3 内点和开集 定义11. 4．6 对实数集R，A?R，x0∈R，如果存在x0的ε邻域，其中全是A的元素，则称x0为A的一个内点． 定义的条件可以写成 (?ε)(ε∈R^ε0^ (?x)((x∈R^p(x，x0)ε)→x∈A))． 定义11．4．7 对实数集R，A?R，若A的元素都是A的内点，则称A为开集， 精品 11．2．2 函数的逆 一个关系的逆不一定是函数，一个函数的逆也不一定是函数． 例3 对A＝{a，b，c}．A上的关系R为 R= {a，b，a，c，a，a}， 从A到A的函数f为 f＝{a，c，b，c，c，a}． 则它们的逆为 R-1={b，a，c，a，a，a}是A到A的函数， f-1={c，a，c，b，a，c}不是A到A的函数． 精品 定理11．2．5 若f：A→B是双射的，则f-1是函数f-1：B→A 证明 对任意的y∈B，因为f是双射的，所以存在x∈A，使x，y∈f，y，x∈f-1．所以，dom(f-1)＝B． 对任意的y∈B，若存在x1，x2∈A，使得y，x1∈f-1且y，x2∈f-1，则x1，y∈f且 x2，y∈f．因为f是双射的，故x1＝x2.所以，f-1是函数f-1：B→A． 精品 定义11．2．1 设f：A→A是双射的，则称f-1：B→A为f的反函数． 定理11．2．6 若f：A→B是双射的，则f-1：B→A是双射的． 证明 对任意的x∈A，因为f是从A到B的函数，故存在y∈B，使x，y∈f,y，x∈f-1．所以，f-1是满射的． 对任意的x∈A，若存在y1，y2∈B，使得y1，x∈f-1且y2，x∈f-1，则有x，y1∈f且x，y2∈f．因为f是函数，则y1＝y2所以，f-1是单射的，它是双射的， 精品 例4 f：[-?/2,?/2]→[-1，1]，f(x)＝sinx是双射函数．所以，f-1：[-1，1]→ [-?/2,?/2 ],f-1(y)＝arcsin y是f的反函数． 对实数集合R，正实数集合R+.g：R→R+，g(x)＝2x是双射的．所以，g-1：R+→R，g-1(y)=log2y是g的反函数． 精品 定理11．2．7 若f：A→B是双射的，则对任意的x∈A，有f-1(f(x))＝x，对任意的y∈B，有f(f-1(y))=y。 证明 对任意的x∈A，因为f是函数，则有x，f(x)∈f，有f(x)，x∈f-1，因为f-1是函数，则可写为f-1(f(x))=x. 对任意的y∈B，类似可证f(f-1(y))＝y． 由定理，对任意的x∈A，f-1(f(x))＝x，则(f-1。f)(x)＝x，于是f-1。f＝IA.同理也有，f。f-1＝IB．对非双射的函数f：A→B，是否存在函数g：B→A使g。f＝IA呢?是否存在函数h：B→A使f。h＝IB呢? 精品 定义11．2．2 设f：A→B，g：B→A，如果g。f＝IA，则称g为f的左逆；如果f。g＝IB，则称g为f的右逆． 例5 设 f1：{a，b}→{0，1，2}， f2：{a，b，c}→{0，1}， f3：{a，b，c}→{0，1，2}， 如图所示，则f1存在左逆g1，不存在右逆．f2存在右逆h2，不存在左逆．f3既存在左逆g3，又存在右逆h3，且g3=h3=f3-1．如图所示． 精品 精品 定理11．2．8 设f：A→B，A≠?，则 (1)f存在左逆，当且仅当f是单射的； (2)f存在右逆，当且仅当f是满射的； (3)f存在左逆又存在右逆，当且仅当f是双射的； (4)若f是双射的，则f的左逆等于右逆． 证明 (1)先证必要性．设存在x1，x2∈A，使得f(x1)＝f(x2)．设g为f的左逆，则x1＝(g。f)(x1)＝g(f(x1))＝g(f(x2))＝(g。f)(x2)=x2 所以，f是单射的． 精品 再证充分性．因为f是单射的，所以f：A→ran(f)是双射的，则f-1：ran(f)→A也是双射的．已知A≠?，则?a∈A，构造g：B→A为 g(y)＝ f-1(y)， 当y∈ran(f) a， 当y∈B-ran(f) 显然，g是函数g：B→A．对任一x∈A，有(g。f)(x)＝g(f(x))＝f-1(f(x))=