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大学物理 * ? ? 第3章 刚体的转动 3-1 刚体运动的描述 3-2 刚体的定轴转动定律 转动惯量 3-3 刚体定轴转动的功和能 3-4 角动量定理 角动量守恒定律 ? 3-5 碰撞 3-6 刚体的进动 3.1.1 平动和转动 平动：用质心运动讨论 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。 刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体. 各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。 转动：对点、对轴 既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动 定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。 转轴 转动平面 转轴 参考方向 各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同 描述刚体整体的运动用角量最方便。 3.1.2 定轴转动的角量描述 角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。 加速转动 方向一致 减速转动 方向相反 3.2.1 力矩 力矩为零时: 对固定点的力矩 力矩大小等于此力和力臂的乘积. 力为零或力的作用线与矢径共线(sin?=0). 转动平面 (2) 转动平面 (1) 对转轴的力矩 3.2.2 转动定律 将切向分量式两边同乘以 ,变换得 刚体绕定轴Z的转动惯量(moment of inertia) 刚体定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。 m反映质点的平动惯性, J反映刚体的转动惯性. 与 地位相当 对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成 其中r是质量元到转轴的距离。 3.2.3 转动惯量 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。 例3-2 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。 A B L X A B L/2 L/2 C X 解：取如图坐标，dm=?dx 例3-3 求质量为m、半径为R的均匀细圆环和均匀圆盘的转动惯量。轴与圆面垂直并通过圆心。 解　(1) 均匀圆环对中心垂直轴的转动惯量. 圆环对该轴的转动惯量为 (2) 均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量. 圆盘质量面密度为 由第(1)问的计算可知，它对中心垂直轴Z的元转动惯量为 整个圆盘的转动惯量为 与转动惯量有关的因素： 刚体的质量 质量的分布 转轴的位置 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。 注意 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量 平行轴定理 例3-3中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量, JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量.两轴平行,相距L/2.可见: 推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行,相距为d,刚体对其转动惯量为J,则有：J＝JC＋md2.这个结论称为平行轴定理. 右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球半径为R） 例3-5 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆?角时的角加速度和角速度。 解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。 棒上取质元dm,当棒处在下摆?角时，该质量元的重力对轴的元力矩为 ? O gdm dm 3.2.4 转动定律应用举例 重力对整个棒的合力矩为 ? O gdm dm 代入转动定律，可得 3.3.1 力矩的功 式中 力矩做功是力做功的角量表达式. 比较： 3.3.2 转动动能 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。 3.3.3 刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 刚体定轴转动的动能定理 3.3.4 刚体的重力势能 刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积. 刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力势能之和. 若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒. 例3-7　如图所示，一根质量为m，长为l的匀质长棒可在竖直平面内绕其支撑点O转动，开始棒处在水平位置由静止释放，求(1)细棒释放时的角加速度；(2)棒落到竖直位置时的角速度. 解　(1) 据题设，棒的重心C离支点距离OC＝l/6.故重力对O轴的力矩为 棒对O轴的转动惯量为 因此 (2) 棒下落过程中，只有重力做功，故棒与地球系统的机械能守恒，选择水平位置为势能零点，则 将J代入，化简后，可得棒到达竖直位置时的角速度为 3.4.1 质点的角动量 O 角动量又称动量矩. 若质点绕