变限积分确定的函数的性质及其应用.docVIP

PAGE PAGE 17 变限积分确定的函数的性质及应用 摘 要 由变限定积分和变限反常积分定义的一类函数，有重要的理论价值和应用价值。本文给出了变限积分的定义及其性质，主要讨论变限积分的求导问题以及奇偶性周期性等方面问题，较系统地讨论了这类函数的性质,得到若干结果，并简要介绍了它们的几点应用。 关键词：变限积分；函数；可积；连续；收敛。 ABSTRACT Limited by the variable and variable limit integral improper integral defined a class of functions, there are important theoretical and practical value. In this paper, changing the definition and nature of limit points, discuss the derivation of integral limits change issues and other aspects of the periodic parity, more systematic discussion of the nature of such functions, by a number of results, and a brief introduction Some of their applications. Key word: variable limit integral, function, integral, continuity, convergence. 目 录 一·变限积分的概念及其性质………………………………………（5） 1.1变限积分的概念…………………………………………………（5） 2变限积分的性质 ………………………………………………（5） 二·变限积分函数的应用 …………………………………………（9） 2.1问题的提出………………………………………………………（9） 2.2 变限积分函数的应用…………………………………………（11） 2.2．1利用变限积分求原函数……………………………………（11） 2.2．2 化积分问题为微分学问题 ………………………………（11） 2.2.3 求定积分……………………………………………………（12） 2.2.4变限积分的积分变量替换 …………………………………（14） 三．结论………………………………………………………………（16） 变限积分的概念及其性质 1.1变限积分的概念 定义1：如果函数在区间可积，则称 ，叫变动上限积分。 ，叫变动下限积分。 定义2：（推广定义）：如果函数在区间可积，为内任一点，则称，叫变动上限积分。 ，叫变动下限积分。 变限积分是一种特殊的定积分，它具有很多特殊的性质，比如它的导数很特殊以及它的连续性、奇偶性、周期性等。特殊性决定了它的重要性，也是经常考察的一个知识点，现就它的几个性质加以举例说明。 1. 2变限积分的性质 定理1(连续性)：设函数在区间[a，b]上可积，则变动上限积分函数在[a，b]上连续，其中为[a，b]内任一点。 证：对上任一确定的点，只要，按定义有 因在上有界，可设。于是，当时有 ； 当时，则有，由此得到 ， 即证得在点连续，由的任意性，在[a，b]上处处连续。 定理 2(导数定理)：如果函数在区间[a，b]上连续，则变动上限积分在具有导数，并且它的导数是 证明:对上任一确定的，当且时，按定义和积分第一中值定理，有 = 由于在点连续，故有 由在上的任意性，证得是在上的一个原函数。 定理 3 (导数推广)：如果函数在区间[a，b]上连续，为[a，b]内任一点，则变动上积限积分，x。（证明略） 注：（1）区间a可为-，b可为+； （2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，呗积函数f中只含积分变量t，不含参变量x。 下面看几个关于变积分导数应用的典型例题: 例1：设，求。 分析：和u=复合而成，要使用复合函数求导法则 解： 例2：设，求。 解：在的连续区间内任选一点，比如取t=0，可得 = + =-2 例3：设可导，求 分析：这里被积函数f中除含积分变量t外，还含参变量x，不能直接使用变限积分的导数定理，通常要通过变量替换消去被积函数f中参数x