数学模型Mathematical Modeling培训课件.ppt

假设 地面为连续曲面 方桌的四条腿长度相同 相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 * 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性 x B A D C O D′ C ′ B ′ A ′ 用?(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地 距离是?的函数 四个距离(四只脚) A,C 两脚与地面距离之和 ~ f(?) B,D 两脚与地面距离之和 ~ g(?) 两个距离 ? 椅脚与地面距离为零 正方形ABCD 绕O点旋转 正方形对称性 * 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f(?) , g(?)是连续函数 对任意?, f(?), g(?)至少一个为0 数学问题 已知： f(?) , g(?)是连续函数 ; 对任意?， f(?) ? g(?)=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在?0，使f(?0) = g(?0) = 0. 模型构成 地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地 * 给出一种简单、粗糙的证明方法 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(?/2)=0 , g(?/2)0. 令h(?)= f(?)–g(?), 则h(0)0和h(?/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在?0 , 使h(?0)=0, 即f(?0) = g(?0) . 因为f(?) ? g(?)=0, 所以f(?0) = g(?0) = 0. 评注和思考 建模的关键 ~ ?和 f(?), g(?)的确定 模型求解 * 思考 若方桌改为长方形桌子，结论如何？ * 如图，有椭圆方程 : 矢径所扫过的面 积A的微分为: 由开普勒第二定 律: 常数 立即得出: 即: 椭圆面积 由此得出 常数 简单推导如下： 行星 r 太阳 * 我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是： 进而有 加速度 以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是 因此得出 由于 * 也就是说行星的加速度为 由开普勒第三定律知 为常数。若记 那么就导出著名的 万有引力定律： 再将椭圆方程 两边微分两次，得 将前面得到的结果 和焦参数 代入，即得 * 数 学 模 型Mathematical Modeling 任课老师：李银飞 liyf_315@163.com Tel693509) * 第一章 建立数学模型 开设本课程的目的： 引起注意、激发兴趣、介绍方法、培养能力 * 数学？ 数学有没有用？ 数学不是没有用，而是不够用 现有的数学工具不能解决所有实际问题 怎么用？ 解决实际问题 数学模型 ? * 数学模型与数学建模 数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。 * 数学模型早就知 我们从小就接触过数学模型： 应用题 “甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问航速，水速若干？” 物体 “从平静湖面的小船上仍一块石头至水中，湖面是上涨还是下降？” 数学竞赛 … * 数学模型无所不在 日常生活 投资 决策 各行各业 经济 金融 专业研究领域 物理 计算机研究 * 例1. 手机电话卡的选择 已知：全球通电话卡每分钟0.4元，每月25元租金；神州行卡每分钟0.6元，不用月租金 问：选择哪种卡比较省钱？ * 例2.打水问题 每天晚上5:00 至 5:30 之间开水房的拥塞想必让每一个人都深有感触吧，偏偏这种时候还有一些人喜欢一个人占好几个龙头，不得不让人怒火中烧。对每个人来讲，最好的办法当然是在不违反排队顺序的前提下尽可能早地接触龙头。事实上大家也基本上是这样做的。在高峰时期霸占多个龙头的人就算不遭到语言的谴责也会遭到目光的谴责。 * 假设现在有 2个水龙头，10 个人来打水，每个人拎着两个壶，每打一壶要 1分钟，这是一种很常见的情况。 方法 A：经验方法。这样，当有两人等待时，两个人各用一个龙头，为将10个人打满，总共的等待时间是： 2*(2+4+6+8+10)=60 分钟 方法