北大离散数学chap8.pptVIP

第八章 一些特殊的图 第一节 二部图 第二节 欧拉图 第三节 哈密尔顿图 第四节 平面图 第八章 小结与例题 例2、画一个无向图，使它 (1) 具有欧拉回路和哈密尔顿回路， 解： (2) 具有欧拉回路而没有哈密尔顿回路， 解： 例2、画一个无向图，使它 (3) 具有哈密尔顿回路而没有欧拉回路， (4) 既没有欧拉回路，也没有哈密尔顿回路。 解： 解： 内容：平面图。 重点：1、平面图的概念， 2、常见的非平面图 ， ， 3、平面图中面的次数与边数关系 4、平面图的欧拉公式 。 了解：极大平面图，极小非平面图。 本节讨论的图均为无向图。 一、平面图的概念。 1、定义： 一个图 如果能以这样的方式画在 平面上：除顶点处外没有边交叉出现，则称 为平面图，画出的没有边交叉出现的图称为 的一个平面嵌入或 的一个平面图。 例1、 例1、 2、极大平面图，极小非平面图。 极大平面图 ——若在平面图 中任意不相邻 的两个顶点之间再加一条边，所得图为非平面 图，则 为极大平面图。 例如： 为极大平面图。 ， 2、极大平面图，极小非平面图。 极小非平面图 例如： 都是极小非平面图。 ， ——若在非平面图 中任意删除 一条边后，所得图是平面图，则 面图。 为极小非平 二、平面图中面、次数与图的顶点、边数等 的关系。 1、定义：设 是一个连通的平面图 (指 某个平面嵌入)， 的 面 ——平面图的区域 (回路围成的)， 无限面 (外部面) ——面积无限的区域，记 ， 有限面 (内部面) ——面积有限的区域， 边界 ——包围面的边 (回路)， 二、平面图中面、次数与图的顶点、边数等 的关系。 1、定义：设 是一个连通的平面图 (指 某个平面嵌入)， 的 次数 ——面 边界的长度，记 。 若 是非连通的平面图，设 有 个 连通分支，则 的无限面 的边界由 个回 路形成。 例2、 的边界为复杂回路 。 注意： (1) 一个平面图的无限面只有一个。 (2) 同一个平面图可以有不同形状的平面嵌入 (互相同构)。 (3) 不同的平面嵌入可能将某个有限面变成 无限面，而将无限面变成有限面。 例3、 图(2)，(3)都是图(1)的平面嵌入， 图(2)中， ， 图(3)中， ， 它们虽然形状不同，但都与(1)同构。 2、平面图中面次数与边数的关系。 为面数) ( 3、欧拉公式。 设 为连通的平面图，顶点数为 ，边数为 ， 面数为 ，则 如例3中， 图(1)中 ， ， 则 一、二部图。 1、基本概念。 二部图，完全二部图。 2、运用。 判定一个图是否二部图或完全二部图。 * 内容：二部图。 重点：二部图的定义及判定。 本节讨论的图均为无向图。 一、二部图的定义。 1、若存在无向图 的顶点集 的一个 划分， ， ，使得 中任何 一条边的两个端点分别在 和 中，则称 为二部图 (或偶图)。 其中 称互补顶点子集， 记为 。 一、二部图的定义。 2、完全二部图 (或完全偶图)。 若 中任一顶点与 中每一顶点均有且只有 一条边相关联，则称此二部图 为完全二部 图 (或完全偶图)。 若 ，则记完全二部图为 ， 。 例1、 二部图 完全二部图 二部图 例1、 完全二部图 二部图 二、判定定理。 一个无向图 是二部图当且仅当 中无奇数长度的回路。 例2、判断以下是否二部图。 (1) 二部图 图(1)中所有的回路长度均为偶数。 (思考，求其互补顶点子集) 例2、判断以下是否二部图。 二部图 例1 同构 以上二图均为 。 例2、判断以下是否二部图。 例1 同构 二部图 以上二图均为 。 例2、判断以下是否二部图。 不是二部图，因图中存在长为3的回路 。 内容：欧拉图。 重点：1、欧拉图的定义， 2、无向图是否具有欧拉通路或回路 的判定。 了解：有向图是否具有欧拉通路或回路的判定。 一、问题的提出。 1736年，瑞士数学家欧拉，哥尼斯堡七桥问题 二、定义。 欧拉通路 (欧拉迹) ——通过图中每条边一次 且仅一次，并且过每一顶点的通路。 欧拉回路 (欧拉闭迹) ——通过图中每条边一次 且仅一次，并且过每一顶点的回路。 欧拉图 ——存在欧拉回路的图。 注意： (1) 欧拉通路与欧拉回路不同。 (2) 欧拉图指具有欧拉回路(并非通路)的图。 (3) 欧拉通路(回路)必是简单通路(回路)。 (4) 连通是具有欧拉通路(回路)的必要条件。 (5) 欧拉通路(回路)是经过图中所有边的通路 (回路)中最短的通路(回路)。 三、无向图是否具有欧拉通路或回路的判定。 有欧拉通路 连通， 中只有两个奇度 顶点(它们分别是欧拉通路的 两个端点)。 有欧拉回路( 为欧拉图) 连通， 中均 为偶度顶点。 例1、以下图形能否一笔画成？ 例1、以下图形能否一笔画成？ 例2、两只蚂蚁比赛问题。 两只蚂蚁甲、