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足球比赛排名问题 报告人：龚珣 一、问题引入 二、问题分析 三、合理假设 四、建模与求解 模型1：总积分法 模型2：平均积分法 模型3：特征向量法 模型3’：得分矩阵法 模型4：参数法 模型5：概率法 一、问题引入 众所周知，足球界对同一赛事中比赛结果的排名有现成的算法，例如，循环比赛结果的排名，按二分制（或三分制）计算总积分，以总积分的高低来决定名次的先后（总积分相同者，再比净胜球的多少、总进球的多少，再相同就抽签决定）。但是，这一算法着眼于排出比赛的胜负名次，并不能合理反映出各队真实水平的高低。比赛名次当然主要决定于各队的真实水平，但各队在比赛场次安排中“运气”的好坏也有相当的影响，比如某队在比赛中避开了强队而大胜弱队，就是由于“运气”好而得分高的例子。我们不能完全排除这一类因素，但应尽可能合理的考虑并处理它。 我们的目标就是针对这种不规则的比赛数据提出一种算法，尽可能合理地反映各队真实水平。 二、问题分析 本问题讨论的难度，即足球队之间比赛结果不具有传递性。如甲队胜乙队，乙队胜丙队，然而丙队可以平甚至胜甲队。再有甲队该场胜乙队，而另一场比赛可能乙队胜甲队，即便两场都是甲队胜了，也可能第一场3：2胜，第二场却是2：0胜了。然而数学上任何排序问题都应具有传递性，严格地将不具有传递性就无法排序。 总体实力与一次比赛中所体现的实力并不总是相等，每次比赛的胜负并不取决于总体实力，而取决于比赛中所体现的实力。各队在每次比赛中所体现的实力并不一样强，有发挥失常也有超常发挥。虽然比赛结果不具传递性，并不妨碍我们比较实力。 确定这一问题是一个随机模型。某队在比赛中的表现是一个随机变量，有均值也有方差，服从一定的分布。每场比赛实际上是两个球队分别独立抽样，比赛的结果实际上是比较样品的大小。正是由于抽样的随机性，各种不同的结果分别按不同的概率发生，因而造成比赛结果的不可传递性。所以足球队进行排序应理解为是对均值的排序。变量是随机，但均值却是不变的，从道理上讲，是不受某场比赛结果所左右的。因此，对均值进行排序从数学上看是合理的。 那么问题来了：随机问题要能用较为准确的结论，应该有丰富的观测数据。根据根据大数定律频率代替概率可得到较为可靠结果，然而实际很多球队之间根本没有比赛过，“无米之炊”的感觉。 三、合理假设 简化问题，先作如下假设： 比赛是确定型的，或者每个队方差均为0，抽样结果就是均值； 比赛的结果是可以精确反映相对实力的，没有误差； 比赛的场次是完全的，任意两个队之间都有比赛成绩。 例子 A、B、C、D四个球队循环赛，比赛结果如下： 积分如下： 排名：CA=DB （A、D比净胜球DA） CDAB A B C D A 3:2 1:2 1:1 B 1:3 5:1 C 2:4 D 胜（2分） 平（1分） 负（0分） 总积分 A 1 1 1 3 B 1 0 2 2 C 2 0 1 4 D 1 1 1 3 四、建模与求解 模型1 总积分法 按两分制（或三分制），即胜一场得两分或三分，平一场的一分，负一场不得分。计算各队在所有比赛中的总积分，按总积分的高低排出名次。 优点:综合考虑比赛的情况，也设法多利用一些结果信息。 缺点（1）没有考虑对手的情况，胜第二名和胜最后一名是一样看待； （2）没有考虑胜负的程度，9：0与5：4没有差别； （3）没有考虑比赛场次的多少，显然多参加比赛有利。 结论：只适用于循环赛。比赛场次少的队吃亏。 模型2 平均积分法 将每个队的总积分除以该队参加比赛场次，得出每场平均积分。按各队平均积分的高低来排名。 一区：A、B、C、D 二区：E、F、G、H、I 胜（2分） 平（1分） 负（0分） 总积分 E 3 1 0 7 F 1 2 1 4 G 1 0 3 2 H 0 2 2 2 I 2 0 2 4 A B C D E F G H I 总积分 3 2 4 3 7 4 2 2 4 平均积分 1 0.67 1.33 1 1.75 1 0.5 0.5 1 按各队平均积分的高低排名（相同则比较平均净胜球） 特征向量法 胜（2分） 平（1分） 负（0分） 总积分 A 1 1 1 3 B 1 0 2 2 C 2 0 1 4 D 1 1 1 3 n = 1 x1 = 0.2500 0.1667 0.3333 0.2500 n = 2 x1 = 0.2059 0.1765 0.2941 0.3235 n = 3 x1 =