第4章 稳定性与李雅普诺夫方法.pptVIP

第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 定义 欧氏范数： 称为 向量的欧氏范数。 系统中， 对任意 ，若存在 ， 使得，当 ， 时 ，有 则称平衡状态 为李雅普诺夫意义下稳定的。 对于某个实数 和任意 ，在超球域 内始终存在状态 ，使得从该状态开始的运动轨迹要 突破超球域 。 此三个图分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定 和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。 4.2 李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法又称间接法。 基本思路是通过状态方程的解来判别系统的稳定性。 线性定常系统：由特征方程的根来判断稳定性。 非线性系统：先线性化，再判别。 4.2 李雅普诺夫第一法 4.2.1 线性系统的稳定判据 4.2.1 线性系统的稳定判据 4.2.1 线性系统的稳定判据 【例4-1】 4.2.2 非线性系统的稳定性 设 ， 为平衡点。 将 在 邻域内展成泰勒级数，得 其中 4.2.2 非线性系统的稳定性 结论： 如果 ，则 渐近稳定； 如果存在 ，则 不稳定； 如果 ，则 的稳定性由高阶导 数项 来决定。 4.2.2 非线性系统的稳定性 例4-2 已知非线性系统 试分析系统平衡状态的稳定性。 4.3 李雅普诺夫第二法 设 是向量 x 的标量函数，且在 x=0 处，恒有 对所有在定义域中的任何非零向量 x，如果成立： 例 例 设 2. 二次型标量函数 矩阵P的符号性质定义如下： 设 P 为n×n实对称阵， 为由 P 决定的二次型函数，则 （1） 正定，则 P 正定矩阵，记为 P0; （2） 负定，则 P 负定矩阵，记为 P0; （3） 半正定，则 P 半正定矩阵，记为 P≥0; （4） 半负定，则 P 半负定矩阵，记为 P≤0; 3、希尔维斯特判据 设实对称阵 为其各阶顺序主子式，即 矩阵P或V(x)定号性的充要条件是： (1)若 ， 则 P 正定； 解：二次型 可以写为 定理 设系统的状态方程为 如果平衡状态 即， 如果存在标量函数V(x)满足： 1） 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） 是正定的； 3）若 是半负定的。 则平衡状态 为在李亚普诺夫意义下的稳定。 定理 设系统的状态方程为 如果平衡状态 即， 如果存在标量函数V(x)满足： 1） 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） 是正定的； 3）若 是负定的；或者 为半负定，对任意初始状态 ，除去x=0外，有 不恒为0。 则平衡状态 是渐近稳定的。 进一步当 ，有 ，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 定理 设系统的状态方程为 如果平衡状态 即， 如果存在标量函数V(x)满足： 1） 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） 是正定的； 3）若 是正定的。 则平衡状态 是不稳定的。 说明： （1） ，则此时 ，系统轨迹将在某个