弹性力学-本构关系.pptVIP

§4-1 物体的弹性性质和广义胡克定律 §4-2 线弹性材料的本构关系 第四章 本构关系 §4-3 各向同性线弹性材料的物理方程 一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为： 应力与应变张量均为六个独立分量。则 §4-1 物体的弹性性质·广义Hooke定律 一. 弹性的概念 如果材料 呈单值连续关系（不一定线性），则称为柯西（Cauchy）弹性材料（一般意义上的弹性）。 受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关系（胡克定律）的启发， 线弹性材料在复杂应力状态下其应力张量与应变张量亦呈线性关系。 称为广义胡克定律的一般形式 呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。 在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件，使 有势函数存在，则这种弹性性质又称为超弹性。可以证明线弹性一定是超弹性。 二. 广义胡克（Hooke）定律 即 广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。 其中 ——称为弹性常数，共81个系数，因 各 六个独立， 缩减为36个独立的常数。 cmn和cijkl 的下标对应关系： m、n 1 2 3 4 5 6 ij、kl 11 22 33 12 23 31 如，c22 ? c2222 ， c56 ? c2331 矩阵表示形式： ——分别称为应力和应变列阵 ——称为弹性矩阵。其元素cmn为36个 其中 张量表示形式： §4-2 线弹性体的本构关系 如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。 根据热力学第一定律和相应数学推导， 有势， 其势函数U0(?ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。 —— Green公式 由 同理 即 弹性矩阵为对称矩阵，共有21个独立的弹性常数 对 称 广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。 如果材料具有弹性对称面，则本构关系还可简化，使弹性常数进一步缩减。 弹性体中每一点均有一个对称方向，在这些对称方向上弹性性质相同，即应力应变关系不变。称为弹性对称。 弹性对称 弹性对称方向 弹性对称方向 弹性对称面 弹性主轴 弹性主轴 一. 横观各向异性材料 相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。 x y z 弹性对称面 O P (x, y, z) P (x, y, -z) y? 设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。 其中[C]为各向异性的弹性矩阵 现将z轴反向，考察其本构关系 x? z? 仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。 体内一点P(x, y, z)的应力和应变为{? } 和{? }。则 在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变 但P点坐标和应力应变分量发生变化 由坐标变换 两坐标系三轴的方向余弦为 x? y? z? x 1 0 0 y 0 1 0 x 0 0 -1 代入上式 由 比较得 例如比较 [C?] 和 [C] 中的第一行 横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会产生切应力，切应变也会产生正应力 工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹性体。 横观各向异性材料的广义胡克定律可表示为 对 称 将 y 轴反向，不产生新的结果。 将 x 轴反向，仿前分析步骤可得 二. 正交各向异性材料 x y z P (x, y, z) O 设三个弹性对称面分别为Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿 x、 y、 z 三方向弹性性质各异。 具有三个相互垂直弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。 综合之，正交各向异性材料的广义胡克定律可表示为 对 称 正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9个；正应变仅产生正应力，切应变仅产生切应力。 煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹性体。