弹性力学第二章 应力理论.pptVIP

x y z O Chapter 3.5 平衡微分方程 Chapter 3.5 平衡微分方程 考虑微单元体的力的平衡条件，在x方向的合力为零。 O Chapter 3.5 平衡微分方程 化简后得 此式即为x方向的平衡方程式 Chapter 3.5 平衡微分方程 同理，得到 y 方向和 z 方向的平衡方程式分别为 Chapter 3.5 平衡微分方程 应力的平衡微分方程(简称平衡方程)如下： 用指标符号可缩写成 Chapter 3.5 平衡微分方程 对于弹性动力学问题，可把惯性力作为体力，于是由平衡方程导出运动微分方程 其中，?为材料密度，ui为位移分量，t为时间。 剪应力互等定理 剪应力互等定理 剪应力互等定理 Chapter 3.5 平衡微分方程 剪应力互等定理 如图所示微正六面体，对通过形心P且沿z轴方向的轴取矩，由力矩平衡条件得 化简 注：凡作用线通过P点或方向与z轴平行的应力和体力分量对该轴的力矩均为零。 Chapter 3.5 平衡微分方程 同理对沿x和y方向的形心轴取矩可得 于是导得 称为剪应力互等定理，或称应力张量的对称性。 Chapter 3.5 平衡微分方程 应力的平衡微分方程(简称平衡方程)如下： 用指标符号表示为： 用实体符号表示为： * Chapter 3.3 主应力 应力不变量 在任意一点，都能找到一组三个相互正交的主方向，沿每点主方向的直线称为该点的主轴。 处处与主方向相切的曲线称为主应力迹线。 以主应力迹线为坐标曲线的坐标系称为主坐标系。 在主坐标系中，应力张量可以简化成对角型 主应力坐标系 Chapter 3.3 主应力 应力不变量 在主坐标系中，主不变量表示为 主应力坐标系 例：已知受力物体中某点的应力分量为（单位：MPa） 试求主应力分量及主方向余弦。 解：此点的应力状态张量的矩阵形式为： 主应力 应力不变量 首先，求出应力不变量为 于是，特征方程为 主应力 应力不变量 求解此特征方程，得三个主应力分别为 主应力 应力不变量 将三个主应力值依次分别代入上式中的任意两式，并利用关系式 ，联立求解即可得到三个主方向的方向余弦。例如为求?1的方向余弦，l1、m1、n1，将?1＝214.6代入上式的前两式得 主应力 应力不变量 主应力 应力不变量 同样可得其余两组方向余弦为： 主应力： 主方向方向余弦： 主应力 应力不变量 Chapter 3.3 主应力 应力不变量 应力偏量 将应力张量分解成球形张量和偏斜张量 其中球形应力张量： Chapter 3.3 主应力 应力不变量 应力偏量 应力理论 Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程 Chapter 3.4 最大剪应力八面体剪应力 最大剪应力 Chapter 3.4 最大剪应力八面体剪应力 最大剪应力 在主应力坐标系中： 约束条件： Chapter 3.4 最大剪应力八面体剪应力 引进拉格朗日乘子?，求泛函 的极值。 相应极值条件为 于是，可得如下方程组 Chapter 3.4 最大剪应力八面体剪应力 可解出三个法线方向 ，分别代入下式便可得到三个剪应力的极值，其中的最大者就是最大剪应力。 Chapter 3.4 最大剪应力八面体剪应力 剪应力的三个极值： 方向：与对应的两个主应力夹角为 45 。 O Chapter 3.4 最大剪应力八面体剪应力 正八面体 Chapter 3.4 最大剪应力八面体剪应力 八面体剪应力 Chapter 3.4 最大剪应力八面体剪应力 八面体剪应力 八面体正应力?0为 由 可得八面体剪应力?0 为 应力理论 Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式与应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程 Chapter 3.5 平衡微分方程 笛卡尔坐标系中的平衡微分方程 考虑物体中A(x,y,z)点，其应力状态用直角坐标表示如下(如图标注) 而临近一点B(x+dx,y+dy,z+dz)的应力状态也用直角坐标示出，根据应力为位置函数的概念，将应力在附近展开，保留一级微量连同应计入的增量可得： Chapter 3.5 平衡微分方程 笛卡尔坐标系中的平衡微分方程 应力场： O Chapter 3.5 平衡微分方程 其中X,Y,Z表示单位体积力(与坐标轴同向为正) 图示正六面体代表通过A(x,y,