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此力偶矩与前一力偶矩 数量相等而转向相反，从而可得 (? dy dz) dx x y dy dz a b d z dx c 精品 剪应力互等定理： 单元体两个相互垂直平面上 的剪应力同时存在，且大小 相等，都指向（或背离）该 两平面的交线。 x y dy dz a b d z dx c 精品 纯剪切应力状态： 单元体平面上只有剪应力 而无正应力，则称该单元 体为纯剪切应力状态。 x y dy dz a b d z dx c 精品 §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度条件 等直圆杆横截面应力 ①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面 1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。 一、等直圆杆扭转实验观察： 精品 二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系： 距圆心为 ? 任一点处的??与到圆心的距离?成正比。 —— 扭转角沿长度方向变化率。 ____________________ ___________ 精品 2. 物理关系： 胡克定律： 代入上式得： ___________ 精品 3. 静力学关系： O dA ? 令 代入物理关系式 得： ___________ ___________ 精品 —横截面上距圆心为?处任一点剪应力计算公式。 4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 ? —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 精品 单位：mm4，m4。 ③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面： D ? d? O 精品 对于空心圆截面： d D O ? d? 精品 ④ 应力分布 （实心截面） （空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。 精品 ⑤ 确定最大剪应力： 由 知：当 Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。 对于实心圆截面： 对于空心圆截面： ___________ 精品 三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件： 沿横截面断开。 铸铁试件： 沿与轴线约成45?的螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力。 精品 1. 点M的应力单元体如图(b)： (a) M (b) ′ ′ (c) 2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)： (d) ? ′ ? x 精品 (d) ? ′ ? x n t 转角规定： 轴正向转至截面外法线 逆时针：为“+” 顺时针：为“–” 由平衡方程： 解得： ____________________________________ 精品 分析： 当? = 0°时， 当? = 45°时， 当? = – 45时， 当? = 90°时， ′ 45° 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角? = ? 45?的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。 精品 四、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： 对于等截面圆轴： ([?] 称为许用剪应力。) 强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： 精品 例题： 图示阶梯圆轴，AB段的直径d1 =120 mm ，BC段的直径 d2 = 100 mm。扭转力偶矩为 mA = 22 kN.m， mB = 36 kN.m ， mC =14 kN.m 。已知材料的许用剪应力[?] = 80MPa，试校核该轴的强度。 A B C 精品 解：作轴的扭矩图 A B C + 22 14 mA = 22 kN。m， mB = 36 kN。m mC =14 kN。m 精品 因此，该轴满足强度要求。 A B C + 22 14 分别校核两段轴的强度 精品 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件 一、扭转时的变形 由公式 知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角? 为 _______________________________ 精品 第三章 扭转 精品 §3–1 概述 §3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图 §3–3 薄壁圆筒的扭转 §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度分析 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件 §3–6 等直圆杆的扭转超静定问题 第三章 扭 转 精品 内容提要 重