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实用运筹学－运用Excel建模和求解 第1章 线性规划 Linear Programming 本章内容要点 线性规划问题及其数学模型； 线性规划问题的电子表格建模； 线性规划问题的多解分析。 本章内容 1.1 线性规划问题及其数学模型 1.2 线性规划问题的图解法 1.3 用Excel“规划求解”工具求解线性规划问题 1.4 线性规划问题求解的几种可能结果 线性规划是运筹学中研究较早，理论和算法比较成熟的重要分支之一。 它主要研究在线性等式（或不等式）的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）问题。 本章主要内容框架图 1.1 线性规划问题及其数学模型 例1.1 某工厂要生产两种新产品：门和窗。经测算，每生产一扇门需要在车间1加工1小时、在车间3加工3小时；每生产一扇窗需要在车间2和车间3各加工2小时。而车间1每周可用于生产这两种新产品的时间为4小时、车间2为12小时、车间3为18小时。已知每扇门的利润为300元，每扇窗的利润为500元。而且根据经市场调查得到的该两种新产品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保所有新产品均能销售出去。 问该工厂应如何安排这两种新产品的生产计划，可使总利润最大？ 1.1 线性规划问题及其数学模型 在该问题中，目标是总利润最大化，所要决策的变量是新产品的每周产量，而新产品的每周产量要受到三个车间每周可用于生产新产品时间的限制。因此，该问题可以用目标、决策变量和约束条件三个因素加以描述。 实际上，所有的线性规划问题都包含这三个因素： （1）决策变量是问题中有待确定的未知因素。例如决定企业经营目标的各产品的产量等。 （2）目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。例如利润最大、成本最小等。 （3）约束条件是指实现问题目标的限制因素。如原材料供应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目标值所能到达的程度。 1.1 线性规划问题及其数学模型 解：例1.1可用表1-1表示。 1.1 线性规划问题及其数学模型 （1）决策变量 本问题的决策变量是每周门和窗的产量。 可设：x1为每周门的产量（扇）； x2为每周窗的产量（扇）。 （2）目标函数 本问题的目标是总利润最大。由于门和窗的单位利润分别为300元和500元，而其每周产量分别为x1和x2，所以每周总利润z为： z = 300x1＋500x2 （元） 1.1 线性规划问题及其数学模型 （3）约束条件 本问题的约束条件共有四个。 车间1每周可用工时限制：x1 ? 4 车间2每周可用工时限制：2x2 ? 12 车间3每周可用工时限制：3x1 +2x2 ? 18 非负约束:x1 ? 0, x2 ? 0 1.1 线性规划问题及其数学模型 例1.1的线性规划模型: 1.1 线性规划问题及其数学模型 本章讨论的问题均为线性规划问题。所谓“线性”规划，是指如果目标函数是关于决策变量的线性函数，而且约束条件也都是关于决策变量的线性等式或线性不等式，则相应的规划问题就称为线性规划问题。 1.1 线性规划问题及其数学模型 例1.2 某公司有100万元的资金要投资(要求全部用完)。该公司有六个可选的投资项目，其各种数据如表1-2所示。 1.1 线性规划问题及其数学模型 该公司想达到的目标为：投资风险最小，每年红利至少为6.5万元，最低平均增长率为12%，最低平均信用度为7。请用线性规划方法求解该问题。 1.1 线性规划问题及其数学模型 解： （1）决策变量 本问题的决策变量是在每种投资项目上的投资额。设xi为项目i的投资额（万元）（i=1,2,?,6） （2）目标函数 本问题的目标为总投资风险最小，即 1.1 线性规划问题及其数学模型 （3）约束条件 本问题共有五个约束条件: ① 各项目投资总和为100万元; ② 每年红利至少为6.5万元; ③ 最低平均增长率为12%; ④ 最低平均信用度为7; ⑤ 非负约束。 1.1 线性规划问题及其数学模型 得到的线性规划数学模型为： 1.1 线性规划问题及其数学模型 线性规划的模型结构: 从以上两个例子中可以归纳出线性规划问题的一般形式：对于一组决策变量x1,x2,?xn，取 1.1 线性规划问题及其数学模型 在线性规划模型中，也直接称z为目标函数； 称xj(j=1,2,?,n)为决策变量；称cj(j=1,2,?,n) 为目标函数系数或价值系数或费用系数；称bi(i=1,2,?,m)为函数约束右端常数或简称右端值，也称资源常数；称aij(i=1,2,?,m;j=1,2,?,n)为约束系数或技术系数或工艺系数。这里，cj，bi，aij均为常数。 线性规划的数学模型可以表示为下列简洁的形式： 1.2 线性规划问题的图解法 对于只有两个变量的线性