第3章(2) 静态场的边值问题及解的唯一性定理.pptVIP

图1 线电流与磁介质分界平面 图2 磁介质1的镜像线电流 特点：在直线电流I 产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。 问题：如图1所示，磁导率分别为 和 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为h。 分析方法：在计算磁介质1中的磁场时，用置于介质2中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图2所示。 2、线电流与无限大磁介质平面的镜像 因为电流沿轴方向流动，所以矢量磁位只有y分量，则磁介质1和磁介质2中任一点的矢量磁位分别为 图3 磁介质2的镜像线电流 在计算磁介质2中的磁场时，用置于介质1中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图3所示。 相应的磁场可由 求得。 可得到 故 利用矢量磁位满足的边界条件 1）为满足原方程，镜像（电荷或电流）应选择在所讨论的区域以外 2）镜像（电荷或电流）的选择应保持原边界条件不变 3）镜像（电荷或电流）只对所讨论的区域有效 4)局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有 可能确定其镜像电荷。 总结： 求解思路： 将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个函数（只含一个变量）的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，使其满足给定的边界条件。 § 3.6 分 离 变 量 法 理论依据： 分离变量法的理论依据是唯一性定理，因为分离后的解既满足微分方程，又满足边界条件，故其是真解。 　分离变量法是求解边值问题最经典的方法，它属于解析法，可给出解的精确表达式。但由于采用正交坐标系，要求边界应与某一正交坐标系的坐标面重合，分离变量法的应用范围有限。 1、 直角坐标系中的分离变量法 设 可以表示为两个函数的乘积 代人上式得 用fg 除左式 令 式中 称为分离常数，待定量。它们可以是实数或虚数，但不可全为实数或虚数。他们并不是独立的，它们必须满足 在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为 由此，将拉普拉斯方程的求解问题分解为两个分别仅与x、y变量有关的常微分方程组的求解 由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方程式被简化为二个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。 下面以关于x的微分方程 为例，说明当分离变数取不同值时的特征解 1）当 时 2)当 时 或 3)当 时 的解 其中a0, b0 , a1, b1, a2, b2, a3, b3为待定常数。 如何确定分离常数 ？由边界条件来确定，方法如下： 1）若某些坐标面(x=0)上的边界条件可看成周期性的，则该坐标的分离常数(kx)为实数；其解为三角函数； 2）若位函数与某一坐标变量无关，则该坐标的分离常数必须为零；其解为常数； 3）若在某些坐标面上，边界条件是非周期性的，则该坐标的分离常数为虚数；其解为双曲函数或者衰减函数。有界区域为双曲函数，无界区域为衰减函数。 对于含变量y 的常微分方程，其解具有完全相同的形式。 当各坐标变量的解确定后，它们的乘积就是原微分方程的一个特解。如该特解满足所有边界条件，则该解就是边界问题的真解；否则必须将所有可能的特解叠加起来，并使其满足边界条件；再确定待定的组合系数，最后得到边值问题的真解 例1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为 ，金属槽接地，横截面如下图所示，试计算此导体槽内的电位分布。 解：该问题的的数学模型： 再考虑到x=0和x=a的槽壁上电位 为零，故可认为沿x方向作周期性的变化， 为非零实数。所以 很明显，金属槽中的电位 与z无关，故 ，满足 二维拉普拉斯方程 取不同的n 值对应的 叠加，通解为 其中 上式左右两边同乘以sin(mπx/a) 并在区间(0，a)积分，有 得到待求区域的电位为 利用三角函数的正交性，有 图2 接地金属槽内的等位线 图1 接地金属槽 例2、矩形导体长槽，上下底面（即y=0与y= b平面）是两无限大接地导体平面。侧面（x=a处）是电位为U0导体平面，且四条棱线间绝缘，如图示，试求矩形长槽内的电位函数