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第11章 近代物理学 狭义相对论部分 11-1 一静止时的长度为100m的宇宙飞船，相对地面以的速度飞行。 （1）在地面上观测，飞船的长度是多少？ （2）如果地面上的观察者发现有两束光脉冲同时击中飞船的前后两端，那么飞船上的观察者看到的是哪一端先被击中，击中飞船两端的时间间隔是多少？ 解：（1）设飞船为S’系，地球为S系，飞船相对地球运动，地球上看飞船长度收缩，依据运动长度收缩公式 其中 Δx’= 100m．，则地球上看到飞船的长度为 （2）地面上的观察者发现有两束光脉冲同时击中飞船的前后两端，相当于两个事件，地球参考下用时空坐标（）（），对应飞船坐标系中两事件的时空坐标为（）（），两根据洛仑兹时间变换公式 ， 飞船上两事件的时间差为 已知，代入求 在飞船上看，飞船的前端先击中 11-2 固定于系轴上有一根米尺，两端各装一激光枪。固定于系轴上有另一根长刻度尺。当这根长刻度尺以的速度经过激光枪的枪口时，两个激光枪同时发射激光，在长刻度尺上打出两个痕迹，求系中这两个痕迹之间的距离，在系中的观测者将如何解释此结果。 解：（1）激光发射打孔在S系中距离为一米，这个距离是同时测量得到的距离，而长刻度尺上留下的距离是静长，依据运动长度收缩公式 其中 Δx= 1m．，则地球上看到飞船的长度为 （2）S系的激光枪同时击中长刻度尺的前后两处，相当于两个事件，S参考下用时空坐标（）（），对应S’坐标系中两事件的时空坐标为（）（），两根据洛仑兹时间变换公式 ， 飞船上两事件的时间差为 已知，代入求 由此看来，S’系的前端先被打出刻痕，时间相对提前 11-3 地球上的观测者发现，一艘以的速度航行的宇宙飞船将在后同一个以的速度与飞船相向飞行的彗星相撞。按照飞船上观察者的钟，还有多少时间允许他们离开原来的航线避免相撞。 解：两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式，可得时间间隔为 = 4(s)． 11-4 在系中观察到在同一地点发生两个事件，第二事件发生在第一事件之后。在系中观察到第二事件在第一事件后发生。求在系中这两个事件的空间距离。 解：在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt = 2s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt` = 3s是运动时，根据时间膨胀公式 ， 即 ， 可以求两系统的相对速度为 在S`系中A和B两事件的空间距离为 = 3v= 6.71×108(m)． 11-5 静止时质量为边长为的立方体，当它以速度沿与它的一个边平行方向相对系运动时，在系中测得它的体积将是多大？密度为多少？ 解：物体沿运动方向长度出现收缩，，垂直运动方向长度不收缩，所以在S’系中，物体的体积为，物体高速运动时，其质量也与速度有关，依据相对论质量--速度公式，，所以得到在S’系中物体的密度为 。 11-6 系相对系以速度沿（）轴方向作匀速直线运动。一根直竿在系中的静止长度为，与轴的夹角为，试求它在系中的长度和它与轴的夹角。 解：直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为 lx = lcosθ和ly = lsinθ． 在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得 ， 因此，在S’系中直杆的长度为 小于原来只的长度。 在S’系中，设尺与x’轴的夹角为， ， 可得夹角为 ． 运动时的夹角大于原来静止时对应的角 11-7 在系中发生两个事件，它们的空间间隔为300m，时间间隔为。 （1）设有一个相对系作匀速直线运动的参考系，在系中这两个事件在同一地点发生，求系相对系的运动速度。 （2）在系中这两个事件的时间间隔是多少？ 解：根据洛仑兹变换，得两个事件的空间公式 ， ． 由题意得：，Δx = 300m，Δx` = 0．代入上式，求得 再利用时间间隔公式， 代入数据，得到S`系中，两事件的时间间隔 11-8 把电子由静止加速到速率为，需对它做多少功？而由加速到需做多少功？ 解：根据功能关系和相对论动能关系式，有 ， 得到把电子由静止加速到速率为，需对它做功为 把电子由加速到需做功 。 11-9 若一个电子的能量为5.0MeV，则该电子的动能、动量和速率各为多少？ 解：设电子速率为v，依据相对论质量-能量关系式， 考虑到电子的静能为，得到 ， 电子的动能 电子的动量大小为 11-10 两个质子各以的速度相对于一个静止点反向运动，求： （1）每个质子相对于该静止点的动量和能量； （2）一个质子在另一个质子处于静止的参考系中的动量和能量。 解：（1）依据相对论能量和动量关系式，得到质子的能量为 得到