背包问题论文.doc

01背包问题 计科班 论文主要内容： 一、 问题描述 给定n种物品和一背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量是c，问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。用贪心算法求解和动态规划算法求解 二、动态规划算法求解 1.算法思想：用二维数组来记录那个物品被存入，初始化的时候都为0，表示没有一个物品可以放入书包。横坐标表示C背包容量，纵坐标表示放入的物品数量，把物品进行测试，如果物品小于背包的容量，价值大于原来的数，我们就把它记录进去。 2.基本思路 这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。 用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是： f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。 3.代码清单 #includestdio.h int c[10][100];/*对应每种情况的最大价值*/ int knapsack(int m,int n) { int i,j,w[10],p[10]; printf(请输入每个物品的重量,价值：\n); for(i=1;i=n;i++) scanf(%d,%d,w[i],p[i]); for(i=0;i10;i++) for(j=0;j100;j++) c[i][j]=0;/*初始化数组*/ for(i=1;i=n;i++) for(j=1;j=m;j++) { if(w[i]=j) /*如果当前物品的容量小于背包容量*/ { if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]c[i-1][j]) /*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/ /*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/ c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]]; else c[i][j]=c[i-1][j]; } else c[i][j]=c[i-1][j]; } return(c[n][m]); } int main() { int m,n;int i,j; printf(请输入背包的承重量,物品的总个数：\n); scanf(%d,%d,m,n); printf(旅行者背包能装的最大总价值为%d,knapsack(m,n)); printf(\n); return 0; } 4 运行结果（截图） 5计算复杂性分析(时间、空间) 先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下： for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 其中的f[v]=