数学物理方法傅里叶变换法.ppt

积分变换法 积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后， 方程得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微 方程后，再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解， 同时，积分变换还可能得到有限形式的解，分离变数 法或者傅里叶级数发往往不能。 本章主要介绍傅里叶变换法在求解偏微分方程中的应用。 傅里叶变换 （1）导数定理 （2）积分定理 （3）相似性定理 （4）延迟性定理 （5）位移性定理 （6）卷积性定理 第一节 傅里叶变换法 用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是 例1 求解无限长弦的自由振动 解： 应用傅里叶变换，即用 同乘方程和定解条件 中的各项，并对空间变量x积分，t看做参数，则 分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。 连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积 无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是 离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于 定解问题变换成： 其中 分别是 的傅里叶变换，这样原来 的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为： 代入初始条件可得： 故 对U作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下： 达朗贝尔公式 例2 求解无限长细杆的热传导问题 解： 作傅里叶变换，定解问题变为： 此常微分方程的初始问题的解为 进行傅里叶逆变换可得： 交换积分次序 积分公式： 例3 求解无限长细杆的有源热传导问题 解： 作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程： 令 利用上述公式可得 用 同乘方程各项，可得： 对t积分一次，并考虑零初始值可得： 进行傅里叶逆变换 交换积分次序可得： 是单位面积硅片 表层原有杂质总量. 并利用积分公式可得最后的结果为： 例4 限定源扩散 在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可 硅片，这里求解的是半无界空间x0中的定解问题: 有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入 以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已 解: 没有杂质穿过硅片表面,即: 第二类齐次边界条件 这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题 则 引用例2结果可得 高斯函数 右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中 即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处的切线都是水平的, 例5 恒定表面浓度扩散 在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体 中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由 即硅片表面的浓度梯度为零,表明没有新的杂质进入硅片. 度趋于均匀,曲线下的面积为 2,3依次对应越来越晚的时刻,杂质浓 的分布情况,曲线1对应于较早的时刻 是半无界空间x0中的定解问题 于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数N0,这里所求 解 首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令 则化为关于w的定解问题: 这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即 引用例2结果可得 第一个积分中令 第二个积分中令 则有 被积函数是偶函数,故 误差函数 记做erfx,则w可写为: 所求的解如下: 余误差函数 记做erfcx,则有 右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中 例6 泊松公式 求解三维无界空间中的波动问题 明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数N0(虚线) 的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很 刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚 分布情况,曲线1对应于某个较早的时 解 做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题 这个方程的解为 再进行傅里叶逆变换 利用5.3例1的结果 应用延迟定理 出现 对 的积分只要在球面 上进行 以r为球心(矢径r),半径为at 为球面 的面积元,此即泊松公式. 三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式 然后拿初始扰动 按泊松公式在球面 上积分 ,波动以速度a传播,只有跟点r 相距at的那些点的初始扰动恰好在时刻t传到r 初始扰动只限于区域T0,如图,取一定点r,与T0 跟 T0不相交,按泊松公式u(r,t)=0,表示扰动的前锋 没有到达r,当d/atD/a, 跟T0 相交, 球心,以at为半径作球面 求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应以r为 扰动已经过去. 最小距离为d,最大距离为D,当td/a, 例7 推迟势 求解三维无界空间中的受迫振动 解 做傅里叶变换,变为非齐次常微分方程的初始值问题 此问题的解为(第六章习题7答案) 进行傅里叶逆变换可得 应用脉冲函数性质和关系式 由于 积分只要在条件 下进行即可 对 的积分只需要在球体 进行,球心的矢径为r,半径at 引用§5.3例1的结果,并应用延迟定理可得 f的宗量t换成了 扰动以速度a传播,从点 出发的扰动,如果在时刻t对点r产生 影响,必然是时刻 出发. 其中 推迟势