现代控制理论--刘豹第1章.ppt

1.1 状态变量及状态空间表达式;1.1 状态变量及状态空间表达式;1.1.3 状态方程;根据电学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组：;或;式（3）就是图1.1系统的输出方程，它的矩阵表示式为：; 在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的 动态过程。如上图一所示的系统，在以 作输出时，从式(1)消去中间变量 i，得到二阶微分方程为：;（8）; 因而多输入一多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：;; 为了简便，下面除特别申明，在输出方程中，均不考虑输入矢量的直接 传递，即令D = 0 。;1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 ;它的模拟结构图示于下图; 同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构图，下图是下列 三阶系统的模拟结构图。;下图是下列二输出的二阶系统的模拟结构图。;;1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(一);1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式;1.4 状态变量及状态空间表达式的建立(二) ; 相应的系统传递函数为; 将图中每个积分器的输出取作状态变量，有时称为相变量，它是输出 的各阶导数。至于每个积分器的输入，显然就是各状态变量的 导数。; 表示成矩阵形式，则为：;此时，系统的微分方程为：;令;或表示为：;（28）; 为求得 令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比较得：;也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。; 将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：;即;（33）;（34）;1.4.3 多输入一多输出系统微分方程的实现;故得模拟结构图，如下图所示：; 取每个积分器的输出为一个状态变量，如上图所示。则式（35）的一种 实现为：;1.5 状态矢量的线性变换(坐标变换);即;系统特征值就是系统矩阵 的特征值，也即特征方程：; 式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：;一个 维矢量 ：经过以 作为变换阵的变换，得到一个新的矢量 即; 根据系统矩阵 求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准型矩阵 无重根时; 而欲得到变换的控制矩阵 和输出矩阵CT，则必须求出变换矩阵T。下面根据A阵形式及有无重根的情况，分别介绍几种求T的方法。 ; (1)A的特征值无重根时，其变换是一个范德蒙德(Vandermonde)矩阵，为：;(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即;已知系统传递函数：;1.6 从状态空间表达式求传递函数阵; 故U—X间的传递函数为：;（66）;它是一个 n×r 矩阵函数。;式(69)还可以表示为：;那么对应上式的传递函数阵 应为：;简记为：; 由式(72)和式(73)，并考虑 得系统的状态空间表达式：;从而系统的传递函数阵为：; 即子系统串联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵之积。但应注 意，传递函数阵相乘，先后次序不能颠倒。;即;故有：;于是：;1.7 离散时间系统的状态空间表达式;实现的任务就是确定一种状态空间表达式：; 实现是非唯一的，较简单的实现见下图所示的模拟结构图。图中 为 已知参数， 为待定常数。以每个延迟器的输出作为一个状态变量，可得：;矢量矩阵形式的离散状态空间表达式为：;多变量离散状态空间表达式为：;1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式;它们???元素有些或全部是时间t的函数。;（83）; 如果我们只局限于考察输入 偏离 为 时，对应于它， 也 偏离 也偏离 时的行为，则可以通过对系统的一次近 似而予以线性化。为此，将 附近作泰勒级数展开：;它们分别是n×n，n x r，m x n，，n x r维矩阵，其相应定义如下：; 忽略仪 高次项，考虑到式(85)，则式(86)的线性 化表达式为：;令