随机变量及其分布和随机变量的数字特征.ppt

从图中可以看出，对于固定的n及p，当k增加时，b(k;n,p)也随之增加并达到某极大值，以后又下降。此外，当概率p越与1/2接近时，分布越接近对称。 例：某人进行射击，设每次射击的命中率为0．02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。 解：将一次射击看成是一次试验．设击中的次数为X，则X～b(400，0．02)。X的分布律为 泊松分布 设随机变量X所有可能取值为0，1，2，…，而取各个值的概率为 其中?0是常数。则称X服从参数为?的泊松分布，记为X～丌(?) 。 易知，P{X=k)≥0，k=0，1，2，…，且有 关于泊松分布 历史上泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家普阿松引入的，近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一。 在实际应用中许多随机现象服从普阿松分布。这种情况特别集中在两个领域中。一是社会生活，对服务的各种要求：诸如电话交换台中来到的呼叫数，公共汽车站来到的乘客数等等都近似地服从普阿松分布，因此在运筹学及管理科学中泊松分布占有很突出的地位；另一领域是物理学，放射性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某区域中的血球或微生物的数目等等都服从普阿松分布。 地震 火山爆发 特大洪水 电话呼唤次数 交通事故次数 商场接待的顾客数 二项分布的普阿松(poisson)逼近 在很多应用问题中，我们常常遇到这样的贝努利试验，其中，相对地说，n大，p小，而乘积?=np大小适中。在这种情况下，有一个便于使用的近似公式。 定理(普阿松) 在贝努利试验中，以pn代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数n有关，如果npn →?，则当n → ∞时，当p相当小（一般当p≤0.1)时，我们用下面近似公式 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法. 则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称为概率密度 . 连续型随机变量及其概率密度的定义 有 ,使得对任意实数 , 定义2. 5 对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) , 函数图像 概率密度函数的性质 由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质： (1)f(x)≥0，函数曲线位于x轴上方； 反之，对于定义在（-∞, ∞)上的可积函数f(x),若它满足性质1和性质2，则由它定义的F(x)是一个分布函数，即它满足分布函数所必须具备的三个性质。 f (x) x o 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落 在区间(x , x +△x ]上的概率与区间长度△x之比的极限。 若 x 是 f(x) 的连续点，则 对 f(x)的进一步理解: (1) 连续型随机变量取任一指定实数值a 的概率均为0. 即 这是因为 注意: 当 时 得到 Probability and Statistics 例：设X的概率密度为 （1）求常数C；（2）求概率P{X0},P{－1≤X≤1},P{X2}. 解 常见的一维连续型随机变量： 均匀分布、指数分布、正态分布 　相应的分布函数为： 均匀分布 　设连续型随机变量X具有概率密度 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布。记为X～U(a,b). 分布函数 均匀分布的密度函数与分布函数 指数分布 　设连续型随机变量X的概率密度为 其中?0为常数，则称X服从参数为?的指数分布。 　相应的分布函数为： 分布函数 正态分布 　设连续型随机变量X的概率密度为 其中?,?(?0)为常数，则称X服从参数为?,?的正态分布分布，记为X～N(?,?2)。 　相应的分布函数为： 分布函数 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度. 正态分布 的密度函数图形特点 正态分布 的分布函数图形 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重、智商等； 正常情况下生产的产品尺寸: 直径、长度、重量、高度等都近似服从正态分布. 正态分布的应用与背景 标准正态分布 　当?=0,?=1时称X服从标准正态分布，记为X～N(0,1)。其概率密度和分布函数分别用?(x),?(x)