离散数学 函数.ppt

定理 *:X中的二元运算 S1? X S2? X *在S1和S2上是封闭的 *在S1∩S2上也封闭 证明 对任意的两个元素x,y?S1∩S2 ? x,y?S1∧x,y?S2 *在S1和S2上封闭 ? x*y?S1 ∧ x*y?S2 ? x*y?S1∩S2 *在S1∩S2上也封闭 二、二元运算的性质 1、封闭性（通性） 2、交换性 3、可结合性 4、可分配性 5、吸收律 证明（2） x1≠x2 f(x1)≠f(x2) x1≠x2 g?f是单射的 g?f(x1)≠g?f(x2) g(f(x1))≠g(f(x2)) g(y1)≠g(y2) 函数的唯一性 y1≠y2 f(x1)≠f(x2) f是单射的 定理 设函数 f: X→Y, IX是X上的恒等函数， IY是Y上的恒等函数，则 f= f?IX= IY?f 证明 设:x?X y?Y IX(x)= x IY(y)= y f?IX (x)= f(IX (x))= f(x) f?IX=f IY?f (x)= IY (f(x))= f(x) IY?f = f 定理 函数 f: X→Y f-1:f的逆关系，则： f-1是从Y到X的函数? f是双射函数 举例:f不是满射函数 设函数 f: X→Y X={a,b,c} Y={1,2,3,4} f={a,1,b,2,c,3} f的逆关系 f-1 ={1,a,2,b,3,c}， 不满足函数的任意性 不是函数 举例:f不是单射函数 设函数 f: X→Y X={a,b,c} Y={1,2} f={a,1,b,1,c,2} f的逆关系 f-1 ={1,a,1,b,2,c}， 不满足唯一性 不是函数 2、反函数 设 f: X→Y是双射函数，则: f的逆关系称f的反函数 注意：只有双射函数才有反函数。 f-1 证明 (1) f: X→Y 则f-1 : Y→X 假设f不是满射函数，则: 与函数的任意性相矛盾 Rf?Y Rf=Df-1 Df-1?Y 证明 (2)假设f不是单射函数，则： x1≠x2 f(x1)＝f(x2) ＝y f(x1)＝y f(x2)＝y f-1(y)＝x1 f-1(y)＝x2 原像 像点 像点 与函数的唯一性相矛盾 定理 设 f: X→Y是一双射函数,则: f的反函数f-1 : Y→X也是一个双射函数。 证明 (1) f-1 是从 Y到X的函数； (2) f-1是满射函数； (3) f-1是单射函数； 证明：f-1 是从 Y到X的函数 f是双射函数 f是满射函数 对任意的y?Y必存在x?X x,y?f ?y,x?f-1 ?Df-1＝Y f-1是满足任意性的 f是双射函数 f是单射函数 对任意的y?Y恰有一个的x?X x,y?f 仅有一个x?X y,x?f-1 f-1是满足唯一性的 证明： f-1是满射函数 ∵R f-1= ∴ f-1是满射函数 Df= X 证明： f-1是单射函数 假设f-1不是单射函数，即： y1≠y2 但是有 f-1(y1)＝ f-1(y2) f是函数 f-1(y1)＝ x1 f-1(y2)＝ x2 x1 ＝ x2 ? f(x1)＝ f(x2) ? y1 ＝ y2 与假设相矛盾 ∴ f-1是单射函数 定理 若 f: X→Y是双射函数,则(f-1)-1=f。 证明：对任意的x,y?(f-1)-1 ?y,x?f-1 ?x,y?f ∴(f-1)-1=f 定理 函数 f: X→Y 反函数 f-1: Y→X f-1?f=IX f?f-1=IY 证明： 设f(x)=y f-1(y)=x f-1?f(x)= f-1 (f(x))= f-1 (y)= x ∴ f-1?f=IX f?f-1 (y) = f(f-1 (y))= f(x)= y ∴ f?f-1=IY 举例 f: X→Y X={0,1,2} Y={a,b,c} f={0,c,1,a,2,b} 求： f-1?f， f?f-1 解答 f-1={c,0,a,1,b,2} (f-1?f)(0)= f-1(f(0)) = f-1(c)=0 (f-1?f)(1)= f-1(f(1)) = f-1(a)=1 (f-1?f)(2)= f-1(f(2))= f-1(b)=2 ∴ f-1?f={0,0,1,1,2,2}=IX 解答 (f?f-1)(a)= f (f -1(a)) = f(1)=a (f?f-1)(b)= f (f -1(b)) = f(2)=b (f?f-1)(c)= f (f -1(c))= f(0)=c ∴ f?f-1={a,a,b,b,c,c}=IY f-1={c,0,a,1,b,2} 定理 f: X→Y g:Y→Z (g ? f)-1= 双射函