数学物理方法(梁昆淼)总复习.ppt

3. 边界条件为“ 混齐” 本征值 本征函数 1＋ 2 2＋ 1 a. 波动问题 1＋2 或 2＋1 1＋2 2＋1 1＋2 2＋1 1＋2 2＋1 b. 输运问题 1＋2 或 2＋1 1＋2 2＋1 通解 系数 1＋2 2＋1 4 极坐标系中 拉普拉斯方程带有周期性边界条件 本征值 本征函数 通解 I 第二类问题: 非齐次的泛定方程 方法一：傅立叶级数法 方法二：冲量定理法 指数表示法 一.复平面上复数的表示方法 直角坐标表示法 三角表示法 二 解析函数 函数 在D内解析的充要条件： b: 及 在D内处处满足C-R条件 a: 及 在D内处处可微 处处连续 极 坐 标 直角坐标 三 复变函数的积分 柯西 定理 公式 定理 单通 复通 解析函数 公式 第一类情形：沿非闭合曲线的积分 a :若 不解析 b : 若 在闭单通区域上解析，求原函数来计算积分 求路径积分 第二类情形：沿闭合围道的积分 （ 在闭单通区域上解析） （ 在闭单通区域上解析且 为该区域上的内点） 留数定理，单极点 留数定理，n阶极点 柯西公式和留数定理是可以统一起来的！！ 四 留数定理 次方项的系数 留数 1. 有限远点的留数 2. 留数定理 .b1 .b2 .bn . . 全平面的留数定理： 函数 在全平面上所有各点的留数之和为零 3 留数的计算（注意判断奇点的类型） （1）可去奇点 奇点邻域内的洛朗展开无负幂项，有限远点 （2）极点 单极点 m阶极点 如何判断极点的阶： 非零有限值 （3）本性奇点：将 在 的去心邻域上作洛朗展开，求－1次方的系数，或用全平面留数定理 五. 洛朗展开 常用初等函数的Tayler展开式 六. 孤立奇点的分类： （根据孤立奇点的去心领域内洛朗级数的性质） 可去奇点： 内的洛朗级数不含有 的负幂项 极点： 内的洛朗级数仅含有有限个 的负幂项 M阶极点 本性奇点 内的洛朗级数含有无限个 的负幂项 不存在 如何判断极点的阶 七 利用留数定理计算实变定积分 第一类： 第二类： 特点：被积函数的积分区间（ ， ）， 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。当 在 上半平面 和实轴上 时， 一致地 第三类： 被积函数的积分区间[ ， ],偶函数 和奇函数 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当 在上半平面或实轴上 时， 和 一致地趋于零 八 奇函数和偶函数的傅立叶级数 奇函数 只有正弦项 偶函数 只有余弦项 九 函数 1挑选性 傅立叶积分 2 函数的 十.数学物理定解问题 A.几个重要的泛定方程 1.弦的横振动方程和杆的纵振动方程(自由振动) 弦的横振动方程和杆的纵振动方程(受迫振动) 每单位长度的弦所受的横向力 每单位长度单位横截面积的杆所受的纵向外力 2. 一维的无源扩散方程和热传导方程（输运方程） 一维的有源热传导方程 单位时间在单位长度上产生的热量 3 静电场方程 有源： 泊松方程 无源： 拉普拉斯方程 B 定解条件 1.初始条件:热传导方程 －－1个初始条件 波动方程－－2个初始条件 2. 边界条件 第一类边界条件 第三类边界条件 第二类边界条件 第二类边界条件: 若为自由振动 例1 作纵振动的杆 例2 细杆导热问题 流出 流入 达朗贝尔公式适用的问题 1 无界区间内的自由振动问题 齐次的泛定方程 半无界区间内的自由振动问题 一齐 2 奇延拓 二齐 3 偶延拓 半无界区间内的自由振动问题 十一 分离变数法 有界区间 I 第一类问题: 齐次的泛定方程 II 第二类问题: 非齐次的泛定方程 1. 边界条件为 “一齐” 2.边界条件为 “二齐” 3.边界条件为 “ 混齐” 4 极坐标系中拉普拉斯方程带有周期性边界条件 II 第三类问题: 非齐次的边界条件 I 第一类问题: 齐次的泛定方程 1. 边界条件为“ 一齐” 本征值 本征函数 a. 波动问题 通解 系数 b. 输运问题 通解 系数 2. 边界条件为“ 二齐” 本征值 本征函数 a. 波动问题 通解 系数 b. 输