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因式分解的一点补充——十字相乘法
一、学习目标1.使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解;
2.进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。
二、学习重点:正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。
三、学习难点:灵活运用十字相乘法因分解式。
四、自主学习:
(一)导入新课
关于x2+(p+q)x+pq这类二次三项式的因式分解,这类式子的特点是x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
课前练习:下列各式因式分解
1.- x2+2 x+15 2.(x+y)2-8(x+y)+12 3.x4-7x2+18 4.x2-5xy+6y2
对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。
(二)、探究:
例1 把2x2-7x+3因式分解。
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数。
分解二次项系数(只取正因数): 2=1×2=2×1;
分解常数项: 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3)。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
1 1 1 3 1 -1 1 -3
2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1
1×3+2×1 1×1+2×3 1×(-3)+2×(-1) 1×(-1)+2×(-3)
=5 =7 = -5 =-7
经过观察,第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7。
解 2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)。
归纳:一般地,对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c
a1 c
a2 × c2
a1c2 + a2
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
像这种借助开十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法。
例2 把6x2-7x-5分解因式。
例3 把5x2+6xy-8y2分解因式。
例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式。
(三)、课堂练习
1.用十字相乘法因式分解:
(1)2x2-5x-12; (2)3x2-5x-2; (3)6x2-13x+5;
(4)7x2-19x-6; (5)12x2-13x+3; (6)4x2+24x+27。
2.把下列各式因式分解:
(1)6x2-13x+6y2; (2)8x2y2+6xy-35;
(3)18x2-21xy+5y2; (4)2(a+b)2+(a+b)(a-b)-6(a-b)2。
(四)、小结
1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时,应注意以下问题:
(1)正确的十字相乘必须满足以下条件:
a1 c
在式子 中,竖向的两个数必须满足关系a1a2=a,c1c2=c;在上式中,斜
a2 c
向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b,分解思路为“
(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时,图的上一行两个数中,a1是第一个因式中的一次项系数,c1是常数项;在下一行的两个数中,a2是第二个因式中的一次项
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