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物理学中的群论 主讲 翦知渐 —— 群论基础 教材： 自编 参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什） 教材与参考书 物理学中的群论 第五章 群论在量子力学中的应用 第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 §1.5 正规子群和商群 §1.6 直积和半直积 §1.7 对称群 群的基本概念和基本性质 §1.8 置换群 §1.1 集合与运算 §1.2 群的定义和基本性质 §1.3 子群及其陪集 §1.4 群的共轭元素类 第一章 群论基础 §0 绪论 群论的发展历史 群论在数学中的作用 我们为什么要学习群论 §1.1 集合与运算 抽象代数的基本概念 集合的乘积： 直积 内积 集合：抽象代数研究的对象 集合的势 1 集合 返回 定义：设 A 与 B 是两个集合，若有一种规则 f ，使得A的每一个元素在 B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 就称为 A 到 B 的一个映射，记为 f ：A → B 或写为 f ：x → y = f ( x ) , 式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。 对应规则：与函数的比较 2 映射 变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质： f f -1 = f -1f = e 满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e 定义：若对 A 上的每一对有序元(a, b ) ，在 A 上有唯一确定的 c 与之对应，即有一规则 R 使得 A×A → A，则 R 称为 A上的一个二元运算，记为 R：A×A → A， 或 R：(a, b ) → c = R(a, b ) 一般记为c = a·b，或c = ab 。 二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作…… 3 二元运算 集合的所有代数性质都由其乘法结果决定 e a b k l m e e a b k l m a a b e m k l b b e a l m k k k l m e a b l l m k b e a m m k l a b e D3 乘法表：有限集 设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 · 和 × ； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有 f ( xi · xj ) = f ( xi ) × f ( xj ) ——即像的乘积=乘积的像 则称 f 为 A到 B的同态，记为 A ~ B 4 同态与同构 物理上，同构的集合有分别： G = { e, c2} 和 G = {e, ci } →1:1 同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号 数学上，同构即是同一 例如：G = { e= a4, a, a2, a3 } → G = { 1, i, -1, -i } 同态映射若是一一映射 → 同构：A=B 例如：G = { e, a, a2, a3 } → G′ = { 1, -1 } —— 二对一的同态 → 4:1 同态：A 到B的等比例缩小 ——保持乘法结构：f ( xi · xj ) = f ( xi ) × f ( xj ) 设 f ( xi) = y（i=1,2…,l），则对于所有的i，有 f ( xi · x) = f ( xi ) × f(x) = y × f(x) → 所有的xi · x对应于同一个元 §1.2 群的定义和基本性质 什么是群？ G = { e, g2, …, gi , …} 是一个集合，其中定义了乘法。如果对于所定义的乘法，以下四个条件成立，则集合G 称为群： 闭合律：gi gj ∈ G, ∀gi , gj ∈ G 结合律：gi ( gj gk ) = (gi gj ) gk , ∀gi , gj , gk ∈ G 存在单位元：gi e = e gi = gi , ∀gi ∈ G 存在逆元素： ∀gi ∈ G ，∃gi -1∈ G ，使得gi gi -1 = gi -1 gi = e 广群，半群，幺半群 1 定义 { 1 }： 只含一个元素的群, 1 即是单位元 e 。 {1，-1 }： 这个