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解的存在唯一性定理 和逐步逼近法 内容提要 一阶方程的初值问题 利普希茨条件 存在唯一性定理 概念和定义 定理1 定理1的证明 逐步逼近的思想 定理2 命题1 命题2 命题3 命题4 命题5 一、概念与定义 1.一阶微分方程 这里 是定义在矩形域 上的连续函数。 问题：给定初值 ，什么条件下解存在且唯一 ？？？ 2.利普希茨条件 函数 在矩形域 上关于 满足利普希茨条件，如果存在常数 二、存在唯一性定理 定理1 证明思路：5个步骤 步骤1 证明求解微分方程的初值问题等价于求解 一个积分方程 步骤2 用逐次迭代法构造一个连续的逐步逼近序 列 步骤3 证明此逐步逼近序列一致收敛 步骤4 证明此收敛的极限函数为所求的初值问题 的解 步骤5 证明连续解的唯一性 命题1 初值问题(1.1)等价于积分方程 证明: 反之 故对上式两边求导,得 且 现在取 构造毕卡逐步逼近函数列如下 注 命题2 证明:(用数学归纳法，只在正半区证明，另半区类似) 命题3 证明: 考虑函数项级数 它的前n项部分和为 对级数(3.9)的通项进行估计 于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有 现设 命题4 证明: 即 命题5 证明: 由 综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明. 一 存在唯一性定理 1 定理1 考虑初值问题 命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程 构造Picard逐步逼近函数列 命题2 命题3 命题4 命题5 2 存在唯一性定理的说明 3 一阶隐方程解存在唯一性定理 定理2 考虑一阶隐方程 则方程(3.5)存在唯一解 满足初始条件