全微分方程的解法.pptVIP

* * 恰当方程（全微分方程） 一、概念 二、全微分方程的解法 一、概念 若有全微分形式 则 称为全微分方程。 定义: 例1： 所以是全微分方程. 方程 是否为全微分方程？ 解： 通解则为 （C为任意常数）。 问题: （1）如何判断全微分方程？ （2）如何求解全微分方程？ （3）如何转化为全微分方程？ 定理1 设函数 和 在一个矩形区域 是全微分方程 中连续且有连续的一阶偏导数，则 （1）证明必要性 证明： 因为 是全微分方程， 则存在原函数 ，使得 ????????????所以??????????????????? 将以上二式分别对 求偏导数，得到 又因为 偏导数连续， ????????????，即??????????????????? ????????????所以??????????????????? （2）证明充分性 设 ，求一个二元函数 使它满足 即 由第一个等式，应有 代入第二个等式，应有 这里 因此 ，则 因此可以取 此时 这里由于 ，故曲线积分与路径无关。因此 二、全微分方程的解法 (1) 线积分法: 或 (2) 偏积分法 第一个等式对 积分 代入第二个等式求 ，即可得 (3)凑微分法 直接凑微分得 例2：验证方程 是全微分方程，并求它的通解。 由于 解： 所以方程为全微分方程。 (1) 线积分法: 故通解为 (2) 偏积分法: 假设所求全微分函数为 ,则有 代入可得 因此 从而 即 (3) 凑微分法: 由于 方程的通解为： 根据二元函数微分的经验,原方程可写为 例3：验证方程 是全微分方程，并求它的通解。 　由于 解：　 所以方程为全微分方程。 (1) 线积分法: 故通解为 (2) 偏积分法: 假设所求全微分函数为 ,则有 所以 从而 即 (3) 凑微分法: 方程的通解为： 根据二元函数微分的经验,原方程可写为 练习：验证方程 是全微分方程，并求它的通解。 方程的通解为： 积分因子法 一、概念 二、积分因子的求法 一、定义: 0 ) , ( 1 y x m 连续可微函数，使方程 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( = m + m dy y x Q y x dx y x P y x 成为全 . 微分方程 则称 ) , ( y x m 为方程的 积分因子 . 例1 验证 是方程 的积分因子，并求方程的通解。 解： 是全微分方程。 方程通解为 1.公式法: 求解不容易 特殊地: (两边同除 ) a. 当 只与 有关时， 二、积分因子的求法 *