结构化学基础习题答案.doc

【】金属钾的临阈频率为×，如用它作为光电极的阴极当用波长为的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？ 解： 【】计算下列粒子的德布罗意波的波长： 质量为，运动速度为·的尘埃； 动能为的中子； 动能为的自由电子。 解：根据关系式： () 【】子弹（质量，速度·），尘埃（质量，速度·）、作布郎运动的花粉（质量，速度·）、原子中电子（速度 ·）等，其速度的不确定度均为原速度的，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？ 解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为： 子弹： 尘埃： 花粉： 电子： 【】用不确定度关系说明光学光栅（周期约）观察不到电子衍射（用电压加速电子）。 解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为： 这不确定度约为光学光栅周期的－倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的－倍，用光学光栅观察不到电子衍射。 解法二：若电子位置的不确定度为－，则由不确定关系决定的动量不确定度为： 在的加速电压下，电子的动量为： 由Δ和估算出现第一衍射极小值的偏离角为： 这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子衍射。 【】是算符的本征函数，求其本征值。 解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得： 因此，本征值为。 【】和对算符是否为本征函数？若是，求出本征值。 解：， 所以，是算符的本征函数，本征值为。 而 所以不是算符的本征函数。 【】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。 证：在长度为的一维势箱中运动的粒子的波函数为： ，，，…… 令和’表示不同的量子数，积分： 和皆为正整数，因而和皆为正整数，所以积分： 根据定义，和互相正交。 【】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为 式中是势箱的长度，是粒子的坐标，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均值。 解：（）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量： 即： （）由于无本征值，只能求粒子坐标的平均值： （）由于无本征值。按下式计算的平均值: 【】若在下一离子中运动的电子可用一维势箱近似表示其运动特征： 估计这一势箱的长度，根据能级公式估算电子跃迁时所吸收的光的波长，并与实验值比较。 解：该离子共有个电子，当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前个型分子轨道上。离子受到光的照射，电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的最低能量即第和第两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长： 实验值为，计算值与实验值的相对误差为。 【】已知封闭的圆环中粒子的能级为： 式中为量子数，是圆环的半径，若将此能级公式近似地用于苯分子中离域键，取，试求其电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。 解：由量子数可知，为非简并态，≥都为二重简并态，个电子填入，，等个轨道，如图所示： 图苯分子能级和电子排布 实验表明，苯的紫外光谱中出现β，和共个吸收带，它们的吸收位置分别为，和，前两者为强吸收，后面一个是弱吸收。由于最低反键轨道能级分裂为三种激发态，这个吸收带皆源于电子在最高成键轨道和最低反键之间的跃迁。计算结果和实验测定值符合较好。 【】函数是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。 解：该函数是长度为的一维势箱中粒子的一种可能状态。因为函数和都是一维势箱中粒子的可能状态（本征态），根据量子力学基本假设Ⅳ（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。 因为 常数 所以，不是的本征函数，即其能量无确定值，可按下述步骤计算其平均值。 将归一化：设，即： 所代表的状态的能量平均值为： 也可先将和归一化，求出相应的能量，再利用式求出所代表的状态的能量平均值： 【】已知氢原子的，试回答下列问题： ()原子轨道能? ()轨道角动量?轨道磁矩μ? ()轨道角动量和轴的夹角是多少度？ ()列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的数值）。 ()节面的个数、位置和形状怎么样？ ()概率密度极大值的位置在何处？ ()画出径向分布示意图。 解：（）原子的轨道能： （）轨道角动量： 轨道磁矩： （）轨道角动量和轴的夹角： ， （）电子离核的平均距离的表达式为： （）令，得： ，∞，θ 节面或节点通常不包括和∞，故的节面只有一个，即平面（当然，坐标原点也包含在平面内）。亦可直接令函数的角度部分，求得θ。 （）几率密度为： 由式可见，若相同，则当θ或θ时ρ最大（亦可令，θ或θ），以表示，即： 将对微分并使之为，有：