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平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教案)
教学目标
1. 知识目标:
⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;
⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式;
⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式;
⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系;
2.能力目标:
⑴培养学生的动手能力和探索能力;
⑵通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化,使学生进一步体会数形结合的思想;
3.情感目标:
引导学生探索归纳,感受、理解知识的产生和发展过程,激发学习数学的兴趣.
教学重点
平面向量数量积的坐标表示,以及有关的性质
教学难点
平面向量数量积的坐标运算的综合应用
教学方法
启发引导式,讲练结合,多媒体辅助教学
教学过程设计
§2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(板书)
教学过程
设计意图
一、课题引入
复习回顾:
平面向量数量积的定义
2.数量积的几点性质
cos? =
由旧知识入手,引导学生复习已学过的知识,以便向新知识进行探索.
教学过程
设计意图
二、新课讲授
1.平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量,,怎样用和的坐标表示?
设向量分别为平面直角坐标系的轴、轴上的单位向量,则有
,
∴
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2. 平面向量数量积的坐标表示的性质
向量垂直的判定
设,,则
向量的模
(1)设,则或.
(2)设点A的坐标为、点B的坐标为,
则,那么
(平面内两点间的距离公式)
两向量夹角的余弦
cos?=()
先让学生自主推导平面向量数量积的坐标表示形式,体会知识的形成过程.
然后老师演示学生推导的过程,师生共同分享学生的成果,构建和谐的学习氛围.
引导学生归纳出坐标表示的性质,让学生构建完整的知识系统,充分展现师生互动
教学过程
设计意图
3.例题讲解
例1
解:
∵
∴
例2.
已知A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),试判断△ABC的形状,并给出证明.
解:如图所示,△ABC是直角三角形.
证明如下:
∵ ,
∴
∴
∴ △ABC是直角三角形
教学过程
先让学生尝试解答,体会自主应用新知识解决问题的过程,然后给出详细解答.
先让学生画出简图,直观感知三角形的形状,然后引导学生分析解答.注重培养学生观察——猜测——证明的思维方法.
通过不同解法的分析,培养学生分析问题解决问题的能力。
设计意图
例题变式:
在直角△ABC中,,,求实数k的值;
解:①若,则
∴
∴
②若,则
而
∴
∴
③若,则
而
∴
∴
三、评价练习
1.已知则( )
A.23 B.57 C.63 D.83
2. 已知则夹角的余弦为( )
A. B. C D.
3.则__________。
4.已知则__________。
5.则方向上的投影为_________
先放手让学生自主探索,然后结合几何画板演示,让学生观察,寻找解决问题的思路,培养学生应用分类讨论的思想方法解决问题的能力.
让学生通过练习,自主反思与评价,进而对学习过程进行积极的监控与调节.
教学过程
设计意图
四、课堂小结
⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;
⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式;
⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式;
⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系;
使学生对所学知识有一个完整的印象,使知识系统化、条理化.
五、课外作业
①课本P108的习题2.4 A组的第9,11题
②补充练习:已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?
让学生加深平面向量数量积坐标形式的理解,巩固和发展所学知识.
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