清华大学 系统工程与数学的关系.pptVIP

清华大学本科限选课程 系统工程导论 * * 如何处理小数？ 甲乙丙三个公司合资办一个新公司， 决定成立一个九人董事会，议定根 据投资份额分配名额 公司 投资份额 精确席位 甲 乙 丙 47% 37% 16% 0.47?9=4.23 0.37?9=3.33 0.16?9=1.44 Alabama 悖论 1.3 系统工程与数学的关系 Hamilton分配方法 先确定整数名额，再根据小数 部分的大小顺序分配剩余名额 公司 整数 精确席位 甲 乙 丙 4 3 1 0.47?9=4.23 0.37?9=3.33 0.16?9=1.44 小数 0.23 0.33 0.44 结果 4+0=4 3+0=3 1+1=2 如果将董事会成员扩充为10人 公司 整数 精确席位 甲 乙 丙 4 3 1 0.47?10=4.7 0.37?10=3.7 0.16?10=1.6 小数 0.7 0.7 0.6 结果 4+1=5 3+1=4 1+0=1 悖论：扩充董事会导致丙公司代表减少！ 美国众院席位最初设定为65位，当时就是用Hamilton方法确定了各州在众院的名额，此后，随着人口增加，众院总席位有几次扩充，目前是435位。 根据1881年的人口统计资料，如果众院席位从299位增加到300位，在各州人口不变的情况下，按照Hamilton方法， Alabama州的名额将从8位减为7位。 同样，根据1890年的人口统计资料，如果众院席位从359位增加到360位，Arkansas州将失去一个席位。 问题本质：如何描述席位数的公平性？ 基本描述 越接近越公平，差距越大越不公平 各州总人口 各州席位数 （定性、没有争议 ） （对公平性建模） 进一步描述 甲州总人口 甲州席位数 － 乙州总人口 乙州席位数 甲乙两州代表名额的不公平性和下述 差值（假设为正）正相关 （偏量化、可能有较少争议） 更确切描述（完成数学模型） （完全量化、可能产生很大争议） 甲乙两州席位数的不公平性可以用 下述相对差值测度 甲州总人口 甲州席位数 － 乙州总人口 乙州席位数 乙州总人口 乙州席位数 如果接受相对差值测度模型，马上可以确定在任意两州间分配新增席位的准则。 多州情况下 选择使两州间的相对差值最小的分配方案 选择使所有两州间相对差值的最大值达到最小的分配方案。 模型求解（纯数学问题） 根据前面的分配准则，利用数学方法可以最终推出：若分配一个新增席位，应该使下述比值达到最大的州 是第 州人口数和当前席位数 （美国目前实际采用的方法） 其中： Huntington-Hill分配方法 成功地应用系统工程方法基本上等价于 在上述两种极端情况中找到恰当的折中 用恰当的数学模型描述实际问题是关键！ 两种极端的不恰当的数学模型 建模和求解一般互相关联，获得恰当的 折中需要同时了解实际问题和求解方法 ? 完全反映问题，模型无法求解 ? 模型很好求解，严重歪曲问题 1 2 3 4 进入流量 离开流量 路段 容量 流量 成本（时间） Braess悖论 （瓶颈路段） 用户平衡（UE）状态 在此状态下任何用户独自改变行驶 路径一定会增加其成本 用户平衡规则 系统将稳定在用户平衡状态 （对交通用户的合理的行为模型） 1 2 3 4 平衡成本 上述例子的用户平衡状态 平衡流量 每条路径上的成本 1 2 3 4 ，流量将变成 如果新增一条通路（成本 此时平衡状态不会是 ）如下 因为如果某用户走 其成本变成 1 2 3 4 对于流量 改走 成本 成本 成本 如果 某用户 ，可能改走 ，则 和 分别变成4 和 3，总成本变为： 1 2 3 4 ，其成本变成 流量变成 改走 成本 成本 成本 如果 某用户 1 2 3 4 路段成本 每条路径上的成本 Braess悖论：增加道路反而使行驶成本增加！ 新的流量是 ，新的用户平衡状态 如果基于上述悖论否定用户平衡规则，通过设计新的平衡规则消除悖论就变成了纯数学游戏，因为用户平衡规则具有客观性。 合理的方法是在用户平衡规则的指导下设计合适的措施，例如设置特别的交通规则或用实时信息诱导用户，来消除上述悖论。 一个生活中的例子 路网结构及路段旅行时间描述 O和D分别表示车流的出发点和目的地，从 到 有三条路线可选： ， 。设 之间的交通需求为 分配到路线1上的交通流为 分配到路线2上的交通流为 分配到路线3上的交通流为 于是，3条路线的旅行时间可以分别表示为： 当 时， 该问题存在Pareto最优解，并且与用户均衡解不一致，发生Braess悖论。 北京市某区域路网结构图 自由流旅行时间 延迟参数 0.0078 13.9831 472 7 0.0245 2