微分几何陈维桓从平行公理说起.ppt

从平行公理说起 微分几何的历史和现状简介 平行公理 欧几里德在他的名著《几何原本》中，以5个基本假设为基础，把当时人类已经掌握的纷杂的几何知识变成一个演绎系统，使用逻辑推理方法，一共推出了465个定埋。 这个系统所依据的只是几个虽然没有加以证明，但是看起来相当明显，并且合乎人类经验的假设。这几个“不证自明”的事实叫做公理(axioms)。 平行公理 这五个公理是 1. 两点间必可连一条直线； 2. 直线可以任意延长； 3. 已知圆心及半径可作一圆； 4. 凡直角皆相等； 5. 两直线 AB，CD 与另一直线交于 E，F，若 ，则两直线在 BD 侧相交。 平行公理 第五个公理就是有名的平行公理。 它不像前面的四个公理那么自明，亦即那么简单明了，那么众所公认。 虽然前人并不怀疑欧氏几何描述物理空间的真实性，但从有《原本》开始，大家就怀疑平行公理是否可以由其他的四个公理推出，或者可以用另一个更自明的公理来代替。 平行公理通常以如下的等价形式出现：过直线外一点有唯一的一条直线与其平行。所谓平行就是永不相交的意思，这就牵涉到“无穷”——一个不很自明、无法亲身经验到的观念。 欧几里得不采取后一种形式的平行公理，也许也是要使平行公理显得更自明的缘故。 平行公理 这个平行公理在所有公理之中是最不明显的，所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其他的公理去推得平行公理。 而这努力延持了两千年，后来证明这是不可能的，于是有了非欧几何学的发现，这在人类思想史上是非常特别、有意思的事实，是西方数学和中国数学不同的地方。 平行公理 下文引自国际微分几何学大师陈省身先生的一篇文章，原载于科学月刊第十八卷第六期。 《九章算经》是中国古代最有名的数学书，一共九章，第九章谈的是所谓勾股，勾、股就是直角三角形中较短的两个边，一个叫做勾，另一个就叫做股，而最长的那个边便称为弦。 勾股定理也就是毕氏定理，所以它的发现，中国人也应该有份。 但是在中国的几何中，我无法找到类似三角形三内角和等于180°推论，这是中国数学中没有的结果。 因此，得之于国外数学的经验和有机会看中国数学的书，我觉得中国数学都偏应用；讲得过分一点，甚至可以说中国数学没有纯粹数学，都是应用数学。这是中国科学的一个缺点，这个缺点到现在还存在，大家都讲应用，不注意基础科学。当然应用很要紧，但是许多科学领域基本的发现都是在基础科学。 球面几何 突破欧几里德平行公理的束缚，如果我们将平行公理换成： 5. 过直线外一点没有直线与已给直线平行 我们就得到球面几何。在这种几何体系中，也满足欧氏几何的前四条公理。 生活在地球上的人们，将大地看作平面。大地上的直线，如果从月球上看，其实是地球表面的大圆，即过球心的平面与球面的交线。 球面几何 在球面几何中，三角形 的内角和大于 。事实上，有下面的公式： 式中 为球面半径， 表示三角形 的面积。 非欧几何 如果我们将平行公理换成： 5. 过直线外一点有不止一条直线与已给直线平行 我们就得到非欧几何，也叫双曲几何。在这种几何体系中，也满足欧氏几何的前四条公理。 双曲几何的基本模型是 Poincare 双曲平面。考虑右手直角坐标平面的上半平面 。该平面上的“直线”是圆心在 x 轴上的半圆 和垂直于 x 轴的直线 非欧几何 在非欧几何中，三角形 的内角和小于 。这时，有下面的公式： 式中 为双曲平面 的曲率， 表示三角形 的面积。 解析几何 欧几里得几何之后，第二个重要的发展是坐标几何。 法国哲学家、数学家笛卡儿 (1596～1650) 为了研究几何，引进了坐标的概念，因此可用解析的方法来处理几何的问题。 通过建立坐标系，将平面上或空间中的点与有序数组 或 建立起一一对应，某些图形作为点集其坐标满足某个方程，从而可以使用代数的工具作为研究几何的有力工具。 解析几何 有了坐标系之后，使可研