《matlab教学资料》10实验十面积曲面积分.ppt

实验十 对面积的曲面积分及其MATLAB计算 一、实验目的 学习高等数学中有关对面积的曲面积分的定义和计算方法，掌握利用MATLAB软件进行曲面积分的计算。 二、相关知识 当我们需要求曲面形物体的质量时，类似于实验八的讨论，我们把曲线改为曲面，并相应地把线密度 　改为面密度　　　　，小段曲线的弧长　　改为小块曲面的面积　　，而第i小段曲线上的一点 改为第i小块曲面上的一点 ，那么，在面密度 连续的前提下，所求的质量m就是下列和的极限： 其中λ表示n小块曲面的直径的最大值。 二、相关知识 这样的极限还会在其他问题中遇到，抽去它们的具体意义，就得出对面积的曲面积分的概念。 设曲面Σ是光滑的，函数 在Σ上有界。把Σ任意分成n小块 （同时也代表第i小块曲面的面积），设 是 上任意取定的一点，作乘积 ，并作和 ，如果当各小块曲面的直径的最大值 时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 在曲面Σ上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作 二、相关知识 即 其中 叫做被积函数， Σ叫做积分曲面。 我们指出，当 在光滑曲面Σ上连续时，对面积的曲面积分是存在的，今后总假定 在Σ上连续。 根据上述定义，面密度为连续函数 的光滑曲面Σ的质量m，可表示为 在Σ上对面积的曲面积分： 二、相关知识 如果Σ是分片光滑的，我们规定函数在Σ上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和。例如，设Σ可分成两片光滑曲面 及 （记作 ），就规定 由对面积的曲面积分的定义可知，它具有与对孤长的曲线积分相类似的性质，这里不再赘述。 二、相关知识 对面积的曲面积分的计算法 设积分曲面Σ由方程 给出， Σ在面xOy上的投影区域为 （图10.1），函数 在 上具有连续偏导数，被积函数 在Σ上连续，则可以证明： 如果积分曲面Σ由方程 或 给出，也可类似地 把对面积的面积分化为相应 的二重积分。 图10.1 二、相关知识 例1 计算曲面积分 ，其中Σ是球面 被平面 截面的顶部（图10.2）。 解： Σ的方程为 Σ在面xOy上的投影区域 为圆形闭区域 。又 　从而有： 图10.2 二、相关知识 利用极坐标，得 此时，编写MATLAB程序如下： syms a r s h I=int(int(r/(a*a-r*r),r,0,sqrt(a*a-h*h)),s,0,2*pi) 得到结果为：I =-log(-h^2)*pi+log(-a^2)*pi 即： 二、相关知识 例2 计算 ，其中Σ是由平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面（图10.3）。 解：整个边界曲面Σ在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的部分依次记为Σ1， Σ2， Σ3， Σ4，于是 由于在Σ1， Σ2， Σ3上， 被积函数f(xyz)=xyz均为 零，所以 图10.3 二、相关知识 在 上， ，所以 从而 其中 是 在面xOy上的投影区域，即由直线x=0、y=0及x+y=1所围成的闭区域，因此 二、相关知识 此时，编写MATLAB程序如下： syms x y I=int(int(y*(1-x-y),y,0,1-x)*x,x,0,1)*sqrt(3) 结果为：I =1/120*3^(1/2)，即 二、相关知识 例3 被积曲面S为球面 在第一象限部分的外则，计算曲面积分 。 解：先把问题转化为二重积分，积分区域为x，y平面内的第一象限部分。具体的计算公式为： 然后计算该二次积分。 二、相关知识 程序如下： clear syms x y z z=sqrt(1-x^2-y^2) f=x*y*z I=int(int(f,y,0,sqrt(1-x^2)),x,