数理统计试题及答案.doc

一、填空题（本题分，每题分） 、总体的容量分别为，的两独立样本均值差； 、设为取自总体的一个样本，若已知,则； 、设总体，若和均未知，为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为； 、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于检验的拒绝域为≤，则相应的备择假设为； 、设总体，已知，在显著性水平下，检验假设,，拒绝域是。 、； 、； 、； 、； 、。 二、选择题（本题分，每题分） 、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（ ）。 （） （） （） （） 、设为取自总体的样本，为样本均值，，则服从自由度为的分布的统计量为（ ）。 （） （） （） （） 、设是来自总体的样本，存在， , 则（ ）。 （）是的矩估计 （）是的极大似然估计 （）是的无偏估计和相合估计 （）作为的估计其优良性与分布有关 、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为，在显著性水平下，检验的拒绝域为（ ）。 （） （） （） （） 、设总体，已知，未知，是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为的置信区间为（，），则取显著性水平时，检验假设的结果是（ ）。 （）不能确定 （）接受 （）拒绝 （）条件不足无法检验 、； 、； 、； 、； 、. 三、（本题分） 设随机变量的概率密度为：，其中未知 参数，是来自的样本，求（）的矩估计；（）的极大似然估计。 解：() ， 令，得为参数的矩估计量。 ()似然函数为：， 而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为。 四、（本题分）设总体，且是样本观察值，样本方差， （）求的置信水平为的置信区间；（）已知，求的置信水平为的置信区间；（，）。 解： （）的置信水平为的置信区间为，即为（，）； （）； 由于是的单调减少函数，置信区间为， 即为（，）。 五、（本题分）设总体服从参数为的指数分布，其中未知，为取自总体的样本， 若已知，求： （）的置信水平为的单侧置信下限； （）某种元件的寿命（单位：）服从上述指数分布，现从中抽得容量为的样本，测得样本均值为（），试求元件的平均寿命的置信水平为的单侧置信下限。。 解：() 即的单侧置信下限为；（）。 六、（本题分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度，今阶段性抽取个水样，测得平均浓度为（），标准差为（），问该工厂生产是否正常？（） 解：（）检验假设：，：≠； 取统计量：； 拒绝域为：≤或≥， 经计算：，由于， 故接受，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为。 （）检验假设； 取统计量： ； 拒绝域为； ，所以接受， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是（）。 综上，认为工厂生产正常。 七、（本题分）设为取自总体的样本，对假设检验问题，（）在显著性水平下求拒绝域；（）若，求上述检验所犯的第二类错误的概率。 解：() 拒绝域为; （）由()解得接受域为（，），当时，接受的概率为 。 八、（本题分）设随机变量服从自由度为的分布，()证明：随机变量服从 自由度为的分布；()若，且，求的值。 证明：因为,由分布的定义可令，其中，与相互独立，所以。 当时，与服从自由度为的分布，故有， 从而 。