量子力学复习提纲.ppt

电流密度为绕z轴的环电流。总磁矩的z分量 的平均值为 式中 为Bohr磁子。 从而题给态下的电流密度为 （5）根据带 自旋粒子的薛定谔方程（也即Pauli方程），相应于波函数 的电子几率流密度为 例5. 质量为 m 的粒子，在阱宽为 的非对称一维无限深方势阱中运动，当 时，粒子处于状态 其中， 为粒子的第 n 个能量本征态。 （1）求 t = 0 时能量的取值概率及平均值； （2）求 t 0 任意时刻的波函数 ； （3）求 t 0 时能量的取值概率及平均值。 解：非对称一维无限深方势阱中粒子的本征解为 (阱内) (1) 首先将 归一化，由 可知归一化常数为 于是归一化后的波函数为 能量的取值概率为 能量取其它值的概率皆为零。 t=0 时能量的平均值为 (2) 因为哈密顿算符不显含时间，故 t 0 时的波函数为 (3) 由于哈密顿量是守恒量，而守恒量的的取值概率与平均值皆不随时间改变， 换句话说，只要计算出 t=0 时能量的取值概率及平均值，就知道了 t 0 时能量的取值概率及平均值。 所以 t 0 时能量的取值概率及平均值与 t = 0 时相同。 (2) 用微扰理论求能量至二级修正 得到： 解：(1) H的本征值是方程 的根 (1) 求H的精确本征值；(2) 用微扰理论求能量至二级修正。 这里 是一个实数， 。 例6. 考虑一个三维状态空间问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符为 其中 能量至二级修正公式 本征态为 的本征值为 由题已经给出了能量的一级修正 ，即 对于能量的二级修正： 所以，准确到二级近似的能量本征值为： 例7. 设体系的哈密顿量的矩阵表示为 解： ，其中 是对角的，因此，题中所给 就是哈密顿量在 表象中的矩阵表示。零级近似能量为 其中 。用微扰论求能级和波函数，对于非简并能级，波函数精确到 项，能级精确到 项，对于简并能级，波函数求到零级近似，能级求到 项。 不简并， 和 构成一个二重简并能级。零级近似波函数为 和 是同一个能级 的两个简并态。对于 能级可用非简并微扰论： 对于 和 能级，要用简并微扰论。在以 ， 为基组构成的子空间中， 的矩阵就是原来的 矩阵去掉第一行和第一列后剩下的子矩阵： 为使 对角化，应解本征值方程 久期方程为 解之，得 ， ，这就是能量的一级修正： 从而 以 和 分别代回本征值方程，即得 ， 的两组解，归一化后得到两个新基失： 例8. 已知体系的哈密顿量在某力学量表象中表示为 其中 ，试用微扰方法求解定态（要求准确到一级近似）和相应的能量（要求准确到二级近似）。 解：将题给体系的哈密顿量分解为 ，其中 由 的方程解得零级能量 是非简并，其相应的零级能量本征态为 （1） 零级非简并，故按非简并微扰计算，我们需要计算微扰项在零级能量本征态空间的矩阵元，如下先计算 类似地，我们可以得到 以及 （2） 的厄米性，其余的项按 给出 将上述诸 的值代入（3）与（4）两式，得第一能级的能量为 （3） （4） （5） 按非简并微扰论能量精确到二级和态矢量精确到一级近似的计算公式为 通过类似计算可得另外2个能级能量分别为 相应的本征态为 相应的本征态为 （6） 例9. 考虑一个系统的哈密顿量，在选定的一组正交归一基下的矩阵形式为： （1）当测量系统的能量时，可能的结果是什么？ 求 （2）一个粒子处于态 ，在这组基的表象下表示为 。 求　　，　　　　　 和 其中 解：（1） 能量的可能测值就是 的能量本征值，即求解久期方程 因此 和 ，其中 是简并的。 2)